Турбулентность как естественное состояние течения жидкости
Динамика жидкости основана на изучении сравнительно простых течений: свободных струй и следов, пограничных слоев, прилегающих к твердой поверхности, течений в прямых трубах и плоских каналах. Эти классические течения образуют специальный случай и могут быть отнесены к течениям в пограничных слоях или (более общо) к двумерным потокам. При переходе к турбулентности нужно проявлять осторожность, когда имеется среднее двумерное течение, так как на самом деле турбулентное движение остается полностью трехмерным.
Для того чтобы представить непосредственно суть турбулентности как основного явления движения жидкости, рассмотрим стационарное среднее течение в плоском канале в качестве представительного примера. Кроме того, поскольку динамика жидкости не включается в обычный курс физики, мы начнем с краткого введения в математическое описание движения жидкости на уровне уравнений и рассмотрим способы их применения к простым ламинарным течениям.
Далее будут рассмотрены течения несжимаемой жидкости. Для обсуждения условий, при которых это может быть справедливо, см. [Бэтчелор, 1967]. Для наших целей оно сводится к утверждению того, что плотность r всегда остается постоянной, а уравнение неразрывности можно записать в виде
, (2)
где Ub(x, t) – скорость жидкости в точке x в момент времени t. Отметим, что здесь в основном используется декартова система записи тензоров, греческие индексы a, b, g, ... принимают значения 1, 2, 3, …. Мы также будем использовать соглашение о суммировании, согласно которому по повторяющимся индексам проводится суммирование.
Для несжимаемой жидкости уравнение, выражающее закон сохранения импульса, записывается в виде
, (3)
где sab – тензор напряжений, P – давление. Для ньютоновской жидкости тензор напряжений задается соотношением
, (4)
где n – кинематическая вязкость жидкости.
Подставляя sab из (4) и воспользовавшись уравнением (2), получим уравнение движения несжимаемой ньютоновской жидкости в виде
(5)
которое известно как уравнение Навье–Стокса. Для тех читателей, которые незнакомы с этим уравнением, его вывод можно найти во многих учебниках по динамике жидкости (например, [Бэтчелор, 1967]). На этой стадии может быть полезно узнать, что это уравнение есть не что иное, как второй закон Ньютона, примененный к жидкому континууму. Для этого надо рассмотреть отдельную жидкую частицу объема dV и массы dm = r dV, которая согласно механике Ньютона и своей континуальной природе (конвективная часть) имеет ускорение ¶ U/¶ t + (U, Ñ)U. Правая часть уравнения описывает взаимодействие между жидким элементом и остальной жидкостью.
Уравнения (2) и (5) описывают движение многих обычных жидкостей, таких, как вода, алкоголь, глицерин, воздух и большинство газов, при условии, что их плотность остается постоянной. Многие другие жидкости (например, суспензии, растворы полимеров) требуют для своего описания более сложных конститутивных соотношений между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций, чем рассмотренная ниже линейная связь.
В качестве конкретного примера рассмотрим стационарный сдвиговый поток между бесконечными пластинами, которые расположены параллельно плоскости (x1, x3) при x2 = 0 и x2 = 2a. Течение жидкости происходит только в направлении x1, а поле скорости сводится к U(x, t) = (U1(x2), 0, 0). Тогда производная по времени от скорости исчезает, а нелинейный член в уравнении (5) можно записать в виде
, (6)
в результате чего уравнение Навье–Стокса запишется следующим образом:
, (7)
Отметим, что равенство нелинейного члена нулю – это характерное свойство одномерного ламинарного течения и что уравнение Навье–Стокса в этой частной ситуации описывает равновесие между продольным градиентом давления и вязкими напряжениями. Для этого течения тензор вязких напряжений можно получить из соотношения (4):
, (8)
это выражение соответствует закону Ньютона. Этот закон дает одновременно и определение и метод измерения динамической вязкости m = rn. С точки зрения физики этот эффект можно интерпретировать как необратимый поток продольного импульса (т.е. в направлении x1) в направлении x2.
Можно решить уравнения (7) и (8) одновременно и получить хорошо известный параболический профиль скорости. Для этого подставим уравнение (8) в уравнение (7), получим
, (9)
Интегрируя дважды и используя условия «прилипания» U1(0) = U1(2a) = 0, получим
, (10)
Следует заметить, что в рассматриваемой ситуации давление зависит только от одной переменной, поэтому замена частной производной на обыкновенную справедлива. К тому же давление изменяется в направлении движения потока, следовательно, его градиент является отрицательной величиной, а выражение для скорости – положительной.
Можно получить много физических сведений о турбулентности, если изучать способы передачи энергии от точки к точке в турбулентном потоке или от одной группы вихрей с определенными размерами к другой с другими размерами. Отметим, что под словом «энергия» мы будем всегда подразумевать кинетическую энергию макроскопического движения жидкости. Начнем с некоторых общих для ламинарных и турбулентных течений соображений.
В общем случае жидкость, занимающая объем V и ограниченная поверхностью S, обладает кинетической энергией ET, связанной с движением жидкости, выраженной через поле мгновенной скорости U(x, t), равной:
, (11)
Далее иногда будет использован знак суммирования вместо соглашения о повторяющихся индексах вида Ua2 = Ua Ua. Легко показать (см., например, [МакКомб, 1990]), что уравнение для ET может быть выведено из уравнения Навье–Стокса, при этом получим
, (12)
где fa(x, t) – внешняя сила (на единицу массы жидкости), а e – энергия диссипации в единицу времени на единицу массы жидкости. Она определяется выражением
(13)
Уравнение (12) говорит нам о том, что скорость изменения энергии равна скорости притока энергии за счет работы внешних сил и убыли за счет преобразования энергии в тепло благодаря вязкости. Сделаем по этому поводу два замечания.
Во-первых, нелинейные члены в уравнении Навье–Стокса не вносят вклада в уравнение (12), т. е. эти члены не производят работы над системой. (Это замечание относится и к давлению: как будет видно из дальнейшего изложения, давление действует аналогично нелинейным членам.) Математически это объясняется тем, что любой член, имеющий дивергентный вид в уравнении для энергии, исчезает при интегрировании по объему системы при получении уравнения для глобального значения этой величины.
Во-вторых, вязкие члены можно разделить на две части, одна из которых имеет диффузионный характер и исчезает при интегрировании, а другая описывает диссипацию энергии и представлена в правой части уравнения (13).
Научное исследование турбулентности берет начало с работ Осборна Рейнольдса (1883). Задача, которую решал Рейнольдс, принадлежит к классическим работам, посвященным исследованию течений в прямых трубах с постоянным круговым сечением. Используя свой «метод цветных полосок», он первым показал для заданной жидкости и параметров трубы, что течение будет ламинарным для скорости жидкости, не превышающей некоторой критической величины. При скорости, равной критической, течение внезапно становится турбулентным на некотором расстоянии от начала трубы. При скорости больше критической турбулентное состояние оказалось вполне типичным, хотя и можно поддерживать ламинарное состояние, устраняя возмущения на входе в трубу. Эксперименты Рейнольдса показали, что минимальное значение безразмерной скорости R, определенной соотношением (1), при котором может появиться турбулентность, приблизительно равно 2000. Однако ламинарное течение в трубе может быть метастабильным при значительно больших числах Рейнольдса. Подробности по этому вопросу можно найти в монографии [Шлихтинг, 1968].
Рассмотрим теперь течение в трубе, когда число Рейнольдса заметно превосходит критическую величину. На рис. 1 показано распределение средней скорости в зависимости от расстояния точки наблюдения от оси трубы. Среднее течение направлено по оси x1, а x2 – поперечная или радиальная координата. Для сравнения изображен также эквивалентный ламинарный профиль для того же числа Рейнольдса. Последний профиль, естественно, описывается параболой, определенной соотношением (10), полученной из уравнения Навье–Стокса. Теория турбулентности должна решить аналогичную задачу для турбулентного профиля скорости.
Рис. 1. Сравнение ламинарного и турбулентного распределений
средней скорости для течения в трубе при R = 105
Как правило, мы будем рассматривать среднее значение как результат осреднения по времени, при этом средняя скорость будет обозначаться чертой сверху. В общем случае операция осреднения, определенная некоторым способом, будет изображаться угловыми скобками á ñ, и эти скобки будут использоваться для обозначения моментов более высокого порядка. Так, для средней скорости можно написать
, (14)
где 2T – время осреднения, которое должно быть существенно больше времени турбулентных пульсаций для их успешного сглаживания и существенно короче характерного внешнего времени задачи. Для определенности далее будут рассматриваться течения, средняя скорость которых постоянна по времени.
В этом пункте мы следуем процедуре, предложенной Рейнольдсом (1885), согласно которой мгновенная скорость представляется в виде суммы средней по времени скорости и отклонений от этого среднего значения ua, т.е.
, (15)
Аналогично можно представить и давление
, (16)
где – среднее давление, а p(x, t) – флуктуации давления.
Из этих определений следует, что флуктуации имеют нулевое среднее, т. е.
, , (17)
С физической точки зрения этот результат имеет простое объяснение: в среднем мгновенная скорость одинаковое время как превосходит среднюю скорость, так и имеет значения меньше ее. Соответственно среднее от квадрата флуктуаций не равно нулю и можно ввести среднеквадратичную величину u¢ следующим образом:
. (18)
На практике u¢ часто используется как удобная мера интенсивности флуктуаций.
Мы напоминаем, что зависимость от времени, обозначенная выше для среднеквадратичного значения флуктуаций, относится к медленным внешним изменениям и оставлена только в целях обобщения записи. Когда мы обратимся к конкретным примерам реальных течений, то будем ограничиваться только стационарными случаями.
Рассмотрим сначала уравнение неразрывности (2). Если мы подставим разложение (15) и усредним согласно определению (14) и (17), то получим
. (19)
Вычитание этого результата из уравнения (2) дает похожий результат для ua, следовательно, средняя скорость и флуктуации удовлетворяют уравнению неразрывности порознь. Полученный результат является простым следствием линейности уравнения (2).
Для того чтобы оперировать подобным образом с уравнением движения, подставим соотношения (15) и (16) в уравнение (5) и усредним его почленно. Легко показать, что операция осреднения коммутирует с оператором дифференцирования по времени (см., например, [МакКомб, 1990]).
На этот раз нам приходится работать с нелинейными членами, поэтому, замечая, что , получим
(20)
Сравнение с уравнением (5) показывает, что уравнение для средней скорости в точности совпадает с уравнением Навье–Стокса, записанного для средней скорости, в которое добавлен член, содержащий величины áua ubñ. Таким образом, уравнения для среднего движения (в данном случае уравнения (19) и (20)) содержат три независимых неизвестных: , и áua ubñ. Если мы заглянем вперед, то увидим, что уравнение (22) для флуктуаций скорости может быть использовано для получения уравнения для третьей неизвестной áua ubñ. Однако оно будет содержать неизвестные моменты третьего порядка и т. д. В этом заключается известная проблема замыкания, отмеченная в пункте 1.
Уравнение (20) есть уравнение Рейнольдса, а член с áua ubñ – это (кинематическое) рейнольдсово напряжение. Этот член описывает перенос импульса турбулентными флуктуациями. Как было отмечено Рейнольдсом, этот член существенно увеличивает вязкие напряжения, обусловленные случайным блужданием молекул. Гипотеза о том, что существует аналогия между этими двумя процессами, вместе с утверждением, что величина áua ubñ может быть выражена линейным образом через тензор скорости деформаций и некоторый эффективный (и явным образом записанный) коэффициент вязкости, была главной темой в исследованиях турбулентности.
Подробный вывод тензора напряжений для явного выражения турбулентного трения можно найти в монографии [Шлихтинг, 1968, с. 537]. Здесь нам будет удобнее ввести полный тензор сдвиговых напряжений с помощью соотношения
, (21)
в котором тензор вязких напряжений определен соотношением (4).
Уравнение движения для флуктуаций скорости получается вычитанием уравнения (20) из уравнения (5):
. (22)
Ясно, что любой член этого уравнения при усреднении исчезает. Но если умножить их на ug(x, t) и усреднить, то мы получаем основу для изучения одноточечной одновременной иерархии в соответствии с известными инженерными методами. Но можно умножить на ug(x¢, t¢) и усреднить, тогда получим двухточечную двухвременную иерархию, лежащую в основе фундаментального подхода. Однако сначала мы сконцентрируем внимание на одноточечной форме уравнений. В частности, мы рассмотрим энергетический баланс для флуктуаций.
В турбулентном случае уравнение (11) для полной кинетической энергии легко обобщить: учтя разложение (15), получим
, (23)
где опять использовано свойство.
Обычно мы будем интересоваться только энергией, связанной с флуктуациями скорости ug(x, t). Можно получить соответствующее уравнение сохранения энергии из уравнения для тензора напряжений Рейнольдса. Подробности вывода можно найти во многих монографиях [МакКомб, 1990], здесь мы только обрисуем общие контуры подхода и процитируем окончательный результат.
Рассмотрим уравнение (22) для компонент флуктуаций ua(x, t). Перепишем его в виде уравнения для ug(x, t), оставляя все другие индексы без изменения и присвоив ему номер (22a). Теперь умножим (22) на ug(x, t) и усредним. После этого умножим (22a) на ua(x, t) и усредним. Затем, воспользовавшись правилом дифференцирования произведения функций, сложим полученные уравнения вместе. Эта процедура приводит нас к уравнению для кинематических напряжений Рейнольдса áua ugñ. Если мы теперь положим a = g, то получим уравнение для среднеквадратичных флуктуаций (или нормальных компонентов напряжений) в виде
(24)
Если мы теперь просуммируем данное выражение по a, разделим на два, то получим уравнение сохранения турбулентной кинетической энергии E на единицу массы:
(25)
где
(26)
Левая часть уравнения (25) дает полную скорость изменения по времени (т. е. локальное плюс конвективное) турбулентной кинетической энергии на единицу массы жидкости. Другими словами, уравнение (25) говорит нам, что полная скорость изменения турбулентной энергии по времени полностью определяется членами, расположенными в правой части уравнения. Для того чтобы придать этому конкретный смысл, следует заметить, что первые три члена в правой части уравнения (25) могут быть записаны в дивергентном виде и в соответствии с этим не вносят вклада в глобальный баланс энергии. Следовательно, основной эффект этих членов заключается в диффузии турбулентной энергии в пространстве за счет нелинейных и вязких взаимодействий соответственно.
Трудность, возникающая с четвертым членом, состоит в том, что он не может быть записан в дивергентном виде. Однако если вывести уравнение баланса энергии для средней скорости, то соответствующий член может быть найден. Два этих члена, вместе взятых, можно проинтегрировать и увидеть, что они дают сохранение полной энергии. Таким образом, можно интерпретировать четвертый член правой части уравнения (25) как поток энергии от среднего поля к полю флуктуаций. В литературе он часто называется «генеративным членом»: см. [Хинце, 1975]. Очевидно, что последний член в правой части рассматриваемого уравнения выражает необратимую диссипацию кинетической энергии в тепловую.
Наконец, заметим, что невозможно решить ни уравнение (24), ни уравнение (25): проблема замыкания не позволяет это сделать. Тем не менее каждый член в отдельности может быть измерен экспериментально, поэтому генерация флуктуаций и энергетический баланс изучаются таким способом. Мы вернемся к этому позже.
В случае течения в канале мы конкретизируем процедуру осреднения. Аргументы, использованные для скорости жидкости в случае ламинарного течения в канале, теперь применимы только к средней скорости, направленной по оси и зависящей от координаты . Так, для средней скорости можно написать
. (27)
Поскольку течение в канале стационарно, примем далее, что средняя скорость постоянна во времени.
Для средней скорости, определенной выражением , легко показать, что уравнения (19) и (20), выражающие сохранение массы и импульса, приводятся к виду
(28)
и
. (29)
Если мы сравним этот результат с уравнением (9), соответствующим случаю ламинарного течения, то можем заметить, что в дополнение к замене мгновенных величин на их средние значения появляется корреляция флуктуационных скоростей áu1 u2ñ, обычно называемая напряжениями Рейнольдса, которая дополняет вязкий член и выражает дополнительное сопротивление движению за счет флуктуаций.
Уравнение (25), описывающее баланс турбулентной энергии, можно еще применить к случаю полностью развитого, стационарного среднего течения в плоском канале. Требуя выполнения указанных ограничений, можно приравнять нулю производные по t, x1, x2, а также недиагональную корреляцию, содержащую u3, и свести исходное уравнение сохранения энергии к виду, приспособленному для описания развитого турбулентного течения в канале:
(30)
В этом выражении отброшен член вязкой диффузии на том основании, что он мал по сравнению с остальными членами почти во всей области, кроме пристеночной, как это следует из экспериментальных данных.
Можно охарактеризовать турбулентный пограничный слой в жидкости, текущей около твердой поверхности, с помощью масштаба длины и скорости, задав полную толщину слоя d и скорость набегающего потока. Эти параметры известны под названием «внешних масштабов». Но можно определить и «внутренние масштабы», которые необходимо использовать, если нам нужно охарактеризовать структуру турбулентности. Для того чтобы обсуждать скейлинговое поведение в сдвиговых течениях, необходимо ввести соответствующие внутренние масштабы.
Прежде всего обычно разделяют турбулентный пограничный слой на внутренний слой (приближенно), расположенный в области 0 £ x2 £ 0,2 d, и внешний слой, ограниченный областью 0,2 d £ x2 £ d, где координата x2 измеряется по нормали к поверхности: x2 = 0 на поверхности и x2 ~ d на внешней границе пограничного слоя. (Следует заметить, что положение внешней границы турбулентного пограничного слоя само по себе является случайной величиной, поэтому, когда мы ссылаемся на нее, то подразумеваем среднее значение.) Такое разделение на слои основано на экспериментальных наблюдениях, которые показывают, что величина полного напряжения сдвига t12, определенного соотношением (21), остается практически постоянной во внутреннем слое и приближенно равна его значению tw на поверхности (стенке).
Подобные рассуждения, относящиеся к пограничному слою на пластине в потоке жидкости, могут быть перенесены на течение в канале. В таком течении постоянство величины напряжения сдвига в подслое не является сильно выраженным свойством, но подразделение на подслои все еще оправдано общей феноменологией.
Внутренний слой можно разделить на подслои по относительной величине вязких и турбулентных напряжений. В данном случае уравнение (21) принимает простой вид
, (31)
в котором вязкий член определяется законом Ньютона по средней скорости деформации, а турбулентная часть соответствует компоненте тензора напряжений Рейнольдса.
Около стенки граничное условие, накладываемое на скорости: {u1, u2} ® 0 при x2 ® 0, утверждает, что произведение u1 u2 стремится к нулю при приближении к стенке. Поэтому на стенке напряжение обусловлено только вязкими напряжениями и может быть записано в виде
, (32)
Теперь можно определить вязкий подслой как область вблизи стенки, в которой доминирует первый член в правой части соотношения (31). Для больших значений x2 второй член в правой части (31) становится доминирующим, поэтому эта область часто называется областью постоянства турбулентного напряжения. Очевидно, что существует промежуточная область, в которой оба члена имеют одинаковый порядок величины. Такая область называется переходной (или, часто, буферным подслоем).
Физическую меру каждого из этих подслоев наиболее удобно выразить через так называемые «внутренние переменные», которые могут быть введены следующим образом.
Анализ размерностей (подтвержденный экспериментом) показывает, что подходящим масштабом скорости для внутренней области может быть величина
, (33)
в соответствии с которой масштаб длины внутреннего слоя определится как
«масштаб длины внутреннего слоя» = n / ut , (34)
где ut – так называемая «вязкая скорость». Как будет видно из дальнейшего, ut имеет тот же порядок, что и величина среднеквадратичной флуктуации скорости.
Используя соотношения (32) и (33), можно определить безразмерные переменные:
, . (35)
Эти величины предназначены для измерения расстояний от стенки в единицах n/ut и для малой вязкости приводят к растяжению пристеночной области.
Экспериментальные результаты (которые будут обсуждаться позже) позволяют предложить следующую классификацию:
внутренний слой 0 £ x2 £ 0,2 d
внешний слой 0,2 d £ x2 £ d
При этом внутренний слой разделен на подслои следующим образом:
вязкий подслой 0 £ £ 5
переходный слой 5 £ £ 30
турбулентный слой
постоянного напряжения > 30
Следует подчеркнуть, что характерные величины, принятые для x2 и с целью ввести классификацию слоев, различны у разных авторов. Это, безусловно, подчеркивает трудности в установлении точных критериев установления границ между подслоями.
Феноменологические теории для среднего профиля скорости были подкреплены экспериментальными наблюдениями, позволяющими проверить законы подобия в рассматриваемых здесь ситуациях. Например, во внутренней области пограничного слоя совокупность измерений средней скорости может быть сведена к универсальной форме:
, (36)
которая известна как «закон стенки».
Предполагается, что стенка имеет гладкую поверхность. Если высота (как-либо определенная) неоднородностей на стенке меньше, чем толщина вязкого подслоя, то говорят, что стенка «гидравлически гладкая» и выполняется закон подобия (36). Если высота неоднородности больше толщины вязкого подслоя, то она определяет масштаб внутренней области.
С другой стороны, для внешней области эксперимент дает самосохраняющуюся форму профиля вида
, (37)
которая известна под названием «закон дефекта скорости».
Функции f и g могут быть определены (по крайней мере, для большей части пограничного слоя), если потребовать здесь, чтобы существовала область, где обе формы (или даже их первые производные) непрерывны. Подробные пояснения могут быть найдены в книге [Хинце, 1975]. Результат известен: функции f и g должны быть логарифмами, а уравнение (37) принимает вид
(38)
где A и B – постоянные, которые должны быть определены из сравнения соотношения (38) с экспериментальными результатами.
Этот логарифмический профиль средней скорости прекрасно подтвержден экспериментально, причем до такой степени, что приобрел статус закона природы в области динамики жидкости. К сожалению, как мы еще увидим, этот закон не выполняется вблизи стенки и во внешней части пограничного слоя. (Совершенно очевидно, что соотношение (38) не может удовлетворять граничному условию .)
Однако можно установить предельную форму средней скорости на стенке, рассматривая уравнение (31) для полного напряжения сдвига в пределах вязкого подслоя. Требуя, чтобы полное напряжение было постоянным в этой области (t12 = t0), и чтобы напряжения Рейнольдса стремились к нулю, получим
, . (39)
Интегрируя это соотношение по x2 и используя (33), получим
, (40)
или в безразмерных переменных
, (41)
при этом константа интегрирования положена равной нулю для того, чтобы удовлетворить граничному условию на стенке. Этот линейный закон применим только к вязкому подслою и получил достаточное экспериментальное подтверждение.
Хотя уравнения Рейнольдса для средней скорости не могут быть решены, можно проинтегрировать их для получения нескольких полезных результатов, относящихся к сдвиговым течениям. В частности, мы обсудим двумерное течение в канале, образуемом добавлением второй пластины, параллельной плоскости (x1, x3), расположенной при x2 = 2a над плоскостью x2 = 0. Вниз по течению на значительном удалении от входа в канал, где оба пограничных слоя сливаются вместе, турбулентное течение будет хорошо развито, поэтому уравнения Рейнольдса сведутся к уравнению (29).
Перепишем уравнение (29), заменяя частные производные на обыкновенные; получим
. (42)
Интегрирование каждого члена уравнения по x2 дает
, (43)
в котором последняя операция получена с использованием уравнения (31) и условий , áu1 u2ñ = 0 при x2 = a (центральная линия канала).
Для значений x2, расположенных достаточно далеко от стенок канала, можно пренебречь вязкими напряжениями и записать напряжения Рейнольдса в виде
. (44)
С другой стороны, на стенке (т.е. при x2 = 2a) имеем важное соотношение
, (45)
которое подтверждает простой метод определения сдвигового напряжения на стенке с помощью двух легко измеримых величин.
Кроме того, можно ввести коэффициент турбулентного сопротивления f с помощью соотношения
, (46)
где U – среднемассовая скорость.
Наконец, для полноты следует заметить, что существует эмпирический закон для коэффициента сопротивления в канале. Он имеет вид [Годстейн, 1938; с. 338].
, (47)
где f – коэффициент сопротивления, и называется законом Прандтля–Кармана.
Существует огромное количество данных, относящихся к турбулентности, большая часть которых получена много лет назад. Заинтересованный читатель может получить прекрасное впечатление о предмете, если он заглянет в книгу «Modern Developments in Fluid Dynamics» [Голдстейн, 1938; в двух томах]. Не стоит комментировать скорость развития предмета исследований, чтобы понять, что слово «современный» не такое уж здесь неуместное. Чтобы картина была достаточно содержательная, рассмотрим только несколько исследований. Мы ограничим внимание на течении в канале.
Для того чтобы дать представление о течении в канале, обратимся к работам Никурадзе (1932, см. [Голдстейн, 1938]), Лауфера (1954) и Лоуна (1971), которые связаны с исследованиями течения в трубах круглого сечения. Результаты для других форм канала – плоских течений – не сильно отличаются от рассматриваемых ниже. Но для полноты будут рассмотрены работы Лауфера (1951), Хуссейна и Рейнольдса (1975), а также Креплина и Экельмана (1979), посвященные исследованиям в каналах.
Наконец, прежде чем вернуться к обсуждению экспериментальных результатов последнего времени, нам придется переопределить координатную систему для течений с другими геометриями. Для течений в каналах x1 – координата в продольном (осевом) направлении, x2 – расстояние от стенки в радиальном направлении, x3 – азимутальная.
На рис. 2 показано распределение средней скорости в трубе для трех сильно отличающихся друг от друга чисел Рейнольдса. Результаты взяты из работ Никурадзе (1932) и являются достаточно хорошей характеристикой турбулентности с резким изменением профиля скорости около стенки и более пологим профилем вблизи ядра. Ясно, что такое поведение профиля скорости становится более выраженным по мере роста числа Рейнольдса.
Рис.2. Распределения средней скорости для течения в трубе
при различных числах Рейнольдса:
– 4´103, – 1,1´105, – 3,2´106
Стремление формы профиля к универсальному «закону стенки» показано на рис. 3, на котором сведены воедино все три предыдущие совокупности экспериментальных точек. Поскольку абсцисса x2 на графике отложена в логарифмическом масштабе (логарифм по основанию 10), прямая линия указывает на удовлетворительную логарифмическую зависимость, которой удовлетворяет большая часть данных.
Рис. 3. Логарифмическое распределение средней скорости для
течения в трубе: универсальная форма закона в пристеночных
переменных (обозначения те же, что и на рис. 2)
Этот результат подтвержден многочисленными исследованиями (например, см. [Голдстейн, 1938], [Хинце, 1975]). Это говорит о том, что распределение скорости, задаваемое соотношением (38), находится в хорошем согласии с экспериментальными данными, за исключением тех, которые относятся к области, непосредственно примыкающей к стенке. Однако значительно меньше согласия проявляется в отношении значения констант A и B. На рис. 3 прямая линия соответствует выражению
,
и, переходя к натуральным логарифмам, получим, что A = 2,5 и, следовательно, константа фон Кармана равна k = 0,4. Но даже в рамках приведенных здесь данных ясно, что экспериментальный разброс допускает и другие значения констант A и B.
В противоположность этому средний профиль скорости в вязкой подобласти является строгим результатом. И хотя мы не представили ни одной экспериментальной точки в этой области на рис. 3, линейный закон также проверен экспериментально (последние данные из этой области см. в работе [Бэйквелл и Ламли, 1967]).
Для определения величин в турбулентном течении обратимся к классическим измерениям Лауфера (1954), который использовал технику проволочных термоанемометров для получения трех компонент флуктуирующей скорости для течения воздуха в канале. На рис. 4 представлены среднеквадратичные скорости u1¢, u2¢, u3¢, деленные на скорость ut, определенную по трению на стенке, в зависимости от x2/a для двух различных чисел Рейнольдса R = 50 000 и R = 500 000. Очевидно, что каждая среднеквадратичная компонента удовлетворительно коррелирует с ut, за исключением области вблизи стенки.
Другие точки, как можно заметить, содержат несоответствие между компонентами в большинстве течений, благодаря тенденции к их возрастанию в направлении стенки и стремлению к одному пределу на оси трубы. Обсуждение этих аспектов будет отложено до следующего пункта, в котором будет рассмотрен процесс производства и переноса турбулентности.
Рис. 4. Радиальное распределение трех среднеквадратичных компонент скорости для турбулентного течения в трубе: u1¢/ut ¾ , u2¢/ut ¾ - ¾ , u3¢/ut - - -
На рис. 5 показано распределение величин áu1 u2ñ/ut2, áu1 u2ñ / u1¢u2¢. Первое из них – это отношение напряжений Рейнольдса к напряжениям на стенке; данные подтверждают линейную зависимость, предсказанную соотношением (42). Вторая величина – это коэффициент корреляции, который равен приблизительно 0,4 независимо от точки.
Сначала мы объясним уравнение сохранения энергии для флуктуационных скоростей, т. е. уравнение (25). Обращаясь к четвертому члену правой части уравнения, мы назвали его членом производства, так как он выражает преобразование энергии от среднего поля к флуктуирующему и интерпретируется поэтому как скорость генерации турбулентности. Рассмотрим этот член в условиях стационарного хорошо развитого течения в канале. Уравнение (30) есть уравнение (25), переписанное и приспособленное к описанию течения в канале. Член производства энергии теперь появляется в виде первого члена в левой части уравнения (30) и имеет вид
. (48)
Рис. 5. Радиальное распределение напряжения Рейнольдса
и коэффициента корреляций для турбулентного течения в трубе:
áu1 u2ñ/ut2 ¾, áu1 u2ñ/u1¢u2¢ - - -
Теперь мы в состоянии понять некоторые качественные особенности результатов, относящихся к среднеквадратичным величинам скоростей, рассмотренных ранее. Из рассмотрения уравнений (24) и (48) можно сделать следующие выводы:
(а) кинетическая энергия среднего течения преобразуется только в флуктуации продольной скорости áu12ñ, поэтому не удивительно, что u1¢ больше, чем остальные компоненты u2¢, u3¢;
(б) радиальная и азимутальная компоненты u2¢, u3¢ возбуждаются за счет инерционной передачи энергии от u1¢ посредством тройных корреляций или, конкретнее, благодаря члену, содержащему флуктуации давления.
(в) скорость генерации áu12ñ будет очень большой около стенки, где велики и напряжения Рейнольдса и средний градиент скорости. Эта скорость должна быстро падать при удалении от стенки. Таким образом, роль тройных корреляций состоит в переносе энергии в радиальном направлении (стремление к однородности) и преобразовании энергии от áu12ñ к áu22ñ и áu32ñ (тенденция к изотропии). Это подтверждается результатами, приведенными на рис. 4, которые показывают, что среднеквадратичные компоненты приближенно равны и относительно однородны около оси трубы, где член генерации турбулентности равен нулю.
Можно рассматривать баланс энергии, вернувшись к уравнению (25). Лоун (1971) измерял величины отдельных членов в уравнении. Его результаты приведены на рис. 6. Измерение генеративного члена весьма доступно, в то время как измерение скорости диссипации представляет большие трудности, так как подразумевает измерение девяти независимых компонентов флуктуирующего тензора скоростей изменения напряжения. На рис. 6 кривая диссипации энергии была получена вычислением разности между генерацией и инерциальной трансформацией (или диффузией). К сожалению, эта процедура страдает от того, что вклад от флуктуаций давления в диффузию не может быть измерен непосредственно и должен быть оценен другим способом с потерей точности.
Лоун также определил скорость диссипации двумя другими методами, которые были основаны на предположении локальной изотропии в области малых масштабов, которые больше всего ответственны за диссипацию. Далее эти методы не обсуждаются, поскольку они содержат элементы, лежащие очень далеко от содержания этого курса. Однако из рис. 6 ясно, что все три метода определения скорости диссипации достаточно хорошо согласуются друг с другом, поэтому мы относимся к этим результатам как к достаточно убедительному доказательству выполнения уравнения баланса турбулентной энергии.
Рис. 6. Баланс турбулентной энергии в ядре потока в трубе
(Лоун, 1971)
Мы рассмотрим традиционные феноменологические теории турбулентности, хотя можно доказать, что первая – это общее предположение, а вторая – есть просто метод его реализации.
Начиная с ранних исследований турбулентности, было сделано много попыток согласовать идеи, лежащие в основе кинетической теории газов с представлениями о свойствах континуума (особенно со свойством завихренности и вихревого движения в целом), встречающихся в макроскопическом движении жидкости. В результате многие теории турбулентности основывались на аналогии между хаотическим движением вихрей и случайном движении молекул в разреженных газах. Модель длины смешения (см., например, [Шлихтинг, 1968], [Хинце, 1975]) хорошо известна и дает нам интересный пример, который мы здесь обсудим. Мы начнем с рассмотрения связанного с этими представлениями понятия эффективной вихревой вязкости.
Представление о том, что коллективное движение вихрей может быть заменено коэффициентом вязкости, очень привлекательно. Традиционно оно вводится по аналогии с известными результатами кинетической теории (например, как в уравнении (8)):
среднее вязкое сдвиговое напряжение = .
Можно попытаться представить турбулентное сдвиговое напряжение в аналогичной форме
, (49)
где nT(x2) – это кинематическая вихревая вязкость. Вопреки тому, что провозглашение такой аналогии было очевидно даже для ранних исследователей турбулентности, эта гипотеза все еще привлекает большое внимание. Позднее мы рассмотрим дополнительные подтверждения этой идеи о вихревой вязкости на основе недавних ренормгрупповых исследований, которые будут даны с некоторыми ограничениями. На данной стадии мы просто отметим, с критической точки зрения, что в течении, где и áu1 u2ñ обращаются в ноль одновременно в некоторой точке, вихревая вязкость (определенная соотношением (49)) может быть либо нулем, либо бесконечностью в некоторых точках течения. Если же мы преследуем аналогию с континуальными механизмами, а не кинетической теорией, то очевидно, что «конститутивные соотношения» для турбулентности в общем случае должны быть существенно более сложными, чем чисто «ньютоновское», определяемое соотношением (49).
Модель длины смешения является более амбициозной попыткой построить аналогию с кинетической теорией. Мы начнем с напоминания о том, что напряжение сдвига Рейнольдса ráu1 u2ñ – это поток x1 - компоненты импульса в направлении x2. Прандтль предположил, что этот импульс переносится дискретными порциями жидкости, которые перемещаются в направлении x2 на расстояние l без взаимодействия друг с другом (т. е. предполагается, что их импульс сохраняется на длине l), а затем перемешиваются с жидкостью в новом месте. Ясно, что длина l, называемая длиной смешения, играет в этом процессе роль длины свободного пробега.
Существенным в этом анализе является следующее. Жидкий элемент dV переносится из точки x2 в точку x2 + l с помощью флуктуации скорости u2. При этом переносится импульс в другую точку благодаря разности между и . В результате изменяется импульс в направлении x1, и, следовательно, изменяется скорость u1 в направлении x1. Это можно выразить следующим образом:
(50)
с точностью до первого порядка по l , следовательно
. (51)
Заметим, что, если является возрастающей функцией x2, жидкие частицы, движущиеся в направлении положительных x2 (т. е. в направлении, соответствующем положительным флуктуациям u2), вызывают отрицательную флуктуацию в скорости u1. Таким образом, напряжение Рейнольдса будет отрицательно, поэтому корреляцию можно записать, используя среднеквадратичные скорости, в виде
, (52)
где R12 – коэффициент корреляции. Следующий шаг следует из экспериментальных наблюдений, которые показывают, что u2¢ имеет тот же порядок величины, что и u1¢ в подслое, где напряжение постоянно. Выразив через константу C коэффициент R12, получим из формулы (51)
, (53)
где константа C теперь уже вошла в определение l.
На этом этапе нам необходимы дальнейшие предположения, а именно:
(а) в подслое постоянного напряжения можно положить t12 = tw;
(б) для x2 > 5 можно пренебречь вязким членом в сдвиговом напряжении;
(в) l = k x2, где k известна как константа Кармана.
После этого, воспользовавшись уравнениями (31) и (53), получим
, (54)
откуда, с учетом уравнения (32),
. (55)
Наконец, извлекая корень квадратный из правой и левой частей уравнения и интегрируя по x2, получим профиль скорости в виде
, (56)
где D – константа интегрирования. Этот результат можно сшить с линейным профилем (см. уравнение (41)), выбрав соответствующим образом константу D. В результате получим, что логарифмический профиль, задаваемый соотношением (56), удовлетворяет виду «закона стенки» (38). Мы видим, что эксперимент дает существенное подтверждение логарифмического распределения скорости.