Современные методы исследования турбулентности
1. Введение
Турбулентное движение жидкости является весьма привлекательной проблемой для исследователей. Турбулентное движение можно наблюдать очень часто в повседневной жизни, а, кроме того, для описания этого движения теоретически мы должны обратиться за помощью к квантовой теории поля. Последнее обстоятельство делает турбулентность предметом внимания все большего числа физиков-теоретиков.
Совершенно ясно, что турбулентность представляет проблему теории поля, которая в силу своей нелинейности приводит к исходным понятиям детерминистического хаоса. Однако, если мы преобразуем поле скорости по Фурье в пространство волновых чисел, исходная проблема преобразуется в проблему многих степеней свободы с сильной связью, превращаясь фактически в проблему многих тел. Этот подход к исследованию, выражаясь математически, переводит проблему в ту же область, к которой принадлежат и критические явления, и статистическая теория поля. Действительно, пионеры современной теории турбулентности в своих работах руководствовались сходством с квантовой теорией поля с «константой» связи, которая может изменяться от нуля до бесконечности. С их точки зрения привлечение турбулентности придавало этим проблемам строгую и, очевидно, простую формулировку. Это как раз тот аспект турбулентности, который будет интересовать нас в данном изложении, и далее будет видно, что эта простота окажется иллюзорной.
Однако надо заметить, что отмеченное обстоятельство не является единственным, привлекающим внимание к изучению турбулентности. Огромная практическая важность явления в промышленных технологиях, в аэрокосмических приложениях и в описании окружающих нас потоков убеждает нас, что турбулентность является объектом обширных феноменологических исследований, проводимых теми, кто не хочет ждать, когда фундаментальная наука даст ответы на многие поставленные вопросы. Фактически этот вид исследования является доминирующим в исследовании турбулентности, поэтому желательно, чтобы теоретики были осведомлены о достижениях в этой области. По этой причине мы затрагиваем основы феноменологии в пункте 2 наряду с рассмотрением некоторых идей, перед тем как познакомиться с полуэмпирическими теориями, используемыми в приложениях. Следует подчеркнуть, что это лишь небольшой экскурс в литературу, посвященную турбулентности. Поэтому сначала мы закончим этот пункт дискуссией о различных предварительных соображениях.
В действительности жидкость или газ, рассматриваемые в качестве сплошной среды, являются гораздо более сложными с точки зрения физики объектами, чем это будет определено ниже. Для того чтобы исследовать как можно более простые задачи, ограничим наше внимание средами с линейным соотношением между напряжением и скоростью деформации. Такие среды называются «ньютоновскими». При этом мы исключаем интересные среды, подобные слоистым, мелкодисперсным или пластическим. Последние остаются твердыми до некоторого критического напряжения сдвига и начинают течь, когда напряжение превышает это значение. Кроме того, мы не будем рассматривать увлекательную проблему уменьшения сопротивления с помощью введения полимерных добавок [МакКомб, 1990].
Ограничимся также рассмотрением несжимаемой жидкости, т. е. плотность жидкости всегда остается постоянной. Это означает, что мы исключаем некоторые явления, связанные с понятием скорости звука.
Можно думать, что, вводя эти два ограничения, мы исключаем слишком многое. Но на самом деле мы оставляем огромное количество жидких ньютоновских сред, имеющих большое техническое значение, наподобие воды, алкоголя, глицерина или нефти, а также многих газов, при условии, что скорость движения частиц в этих средах не превосходит одной трети скорости распространения звука в них. В пункте 2 будут приведены основные уравнения, которым подчиняется движение этого широкого класса сред. Здесь же мы рассмотрим соотношения, связывающие жидкий континуум и микроскопическую структуру сред.
Рассмотрим газ, скорость частиц которого равна x. Тогда, если газ находится в покое (макроскопическое условие), среднее от всех составляющих молекулярных скоростей должно быть равно нулю, т. е.
где осреднение производится по скоростям всех молекул. Однако если газ подвергнуть действию макроскопических градиентов импульса, плотности и температуры, то это приведет к появлению макроскопических потоков массы и тепла. Теперь, если мы снова выполним усреднение по некоторому объему, содержащему достаточное количество молекул, но вместе с тем и достаточно малое, чтобы можно было пренебречь изменением макроскопических величин внутри него, то получим поле скорости континуума в виде
.
Теперь мы хотим получить уравнения переноса для описания этих макроскопических процессов. Для импульса – это уравнения Навье–Стокса, которые будут приведены в пункте 2. Однако если бы вы захотели вывести их из микроскопических рассмотрений, то обнаружили бы, что подобная трактовка строга и универсальна для тех свойств, которые являются основными для континуума. А свойства, которые зависят от природы частных сред (т. е. вида напряжений), будут возвращать нас к проблеме многих тел молекулярного взаимодействия. На практике мы можем избежать столкновения с этими проблемами, если будем оперировать понятиями механики континуума, ограничивая свое внимание (что и делается на самом деле) линейными ньютоновскими жидкостями. Тем не менее поучительно взглянуть на то, что при этом остается, по крайней мере, в принципе.
При выводе макроскопических свойств с помощью статистической механики нам требуется одночастичная функция распределения f1, которая определяет вероятность того, что частица имеет определенные координаты в фазовом пространстве в некоторый момент времени. Если мы выведем строгие уравнения для эволюции во времени для f1, то обнаружим, что она зависит от новой функции f2, которая определяет вероятность того, что частица 1 имеет определенные координаты в фазовом пространстве при условии, что частица 2 имеет некоторые определенные координаты. Очевидно, что f2 – это условная вероятность, и если две частицы статистически независимы, то мы получаем простой результат:
Однако в реальных ситуациях частицы не являются независимыми. Они взаимодействуют, так как в противном случае они не смогли бы образовать макроскопических потоков, в которых бы доминировал процесс стремления к равновесию. В соответствии с этим нам нужно получить уравнение для двухчастичной функции распределения, но это приводит к тому, что в уравнении появляется трехчастичная функция распределения. И так далее. Мы получаем незамкнутую статистическую иерархию, в которой всегда на одно неизвестное больше, чем уравнений. Это известная BBGKY-иерархия [Балеску, 1975; Райхль, 1980] и ее замыкание – серьезная нерешенная проблема микроскопической статистической физики. Переходя к макроскопической статистической физике, мы видим, что в самом центре ее существует проблема, в точности аналогичная рассмотренной, поэтому главная тема будет связана с путями замыкания цепочки уравнений в теории турбулентности и аналогией между теорией турбулентности и микроскопической статистической теорией. (Отметим, что некоторые исследователи называют эту аналогию мезоскопической физикой, но здесь этот термин не используется).
Следует, однако, понять ограничения, сопутствующие такой аналогии. В микроскопической теории переноса, соответствующей умеренным условиям, макроскопические процессы генерируют внешние масштабы, которые существенно больше микроскопических. Так можно представить локальное равновесие, существующее в объеме достаточно большом, чтобы подансамбль был представительным, т. е. позволял использовать результаты, полученные при условии теплового равновесия. В турбулентности это не так. Поскольку в турбулентности «транспортные процессы» – это не то же самое, что «молекулярные процессы», турбулентное распределение не является нормальным. Поэтому нет аналогов ни константе Больцмана, ни распределению Больцмана.
Некоторое проникновение в предмет может быть получено, если мы рассмотрим способы измерений. Рассмотрим течение жидкости вдоль длинной прямой трубы в качестве примера. При этом основной гидродинамический подход состоит в измерении перепада давления вдоль трубы с помощью отверстия в стенке трубы и манометра, а также измерения количества жидкости, протекающей через сечение трубы в единицу времени. Если разделить последнюю величину на площадь поперечного сечения трубы, то получим среднемассовую скорость U, которая является нашей первой статистической величиной. С увеличением внешней силы, т. е. перепада давления, скорость течения также увеличится. В конце концов, отклонение от линейной связи между этими двумя величинами даст знать о наступлении турбулентности.
То, что это протекает именно так, впервые продемонстрировал Осборн Рейнольдс (1883, 1895), воспользовавшись подкрашенной струйкой тока, – теперь мы называем это методом визуализации течения. Эта демонстрация приоткрыла одну из тайн, но количественная сторона дела была отложена до конца 1930-х годов, так как требовала развития анемометрии, т. е. способов измерения скорости. Изначально эти методы были основаны на идее введения нагретой проволочки в поток. Изменения локальной скорости потока приводили к изменению температуры проволочки и тем самым к изменению ее сопротивления, которое измерялось мостом. Проволочные анемометры все еще широко используются в настоящее время в сочетании с лазерными анемометрами, действие которых основано на рассеянии лазерного света.
Если расположить анемометр в какой-либо точке внутри трубы, то можно измерить локальную скорость жидкости в этой точке как функцию времени. В принципе можно получить все поле скорости U(t, x). При этом следует иметь в виду, что анемометр должен быть существенно меньше, чем допустимый размер области течения, соответствующий размеру наименьшего вихревого движения. Однако анемометр с неизбежностью будет больше молекулярных масштабов, поэтому все измерения, проведенные этим прибором, соответствуют континуальному пределу. В соответствии с этим, когда мы указываем точку жидкости, мы имеем в виду нечто, что одновременно меньше характерных масштабов течения и больше молекулярных масштабов.
Поле скорости U(t, x), измеренное таким образом, известно в динамике жидкости как эйлеровское. Эйлеровская координатная система соответствует лабораторной. Можно также перейти в систему отсчета, связанную с жидкой частицей, если мы изучаем движение этой жидкой частицы. Так, если мы пометим жидкость в точке x в некоторый момент времени t0, то, наблюдая за ней в течение времени t, мы можем ввести лагранжевы координаты X(t), такие, что X(t0) = x, а лагранжева скорость равна V(t) = dX / dt. Эта координатная система очень удобна для обсуждения турбулентной диффузии, но не очень удобна для общего изложения. С одной стороны, не существует решения задачи перехода к эйлеровской системе координат, с другой стороны, очень трудно проводить эксперимент в лагранжевых координатах. Тем не менее идея лагранжевых координат неожиданно появится снова несколько позже.
Изучение хаотического поведения динамических систем с несколькими степенями свободы вызвала большой интерес в связи с идеей хаоса. Большинство физиков, во всяком случае, знакомы с идеей итераций простейшего отображения, приводящего к удивительным образам, которые чувствительны к начальным данным и к величинам управляющих параметров. Кроме того, хорошо известно, что турбулентность можно рассматривать как типичный пример детерминистического хаоса, и это часто приводит к неправильному пониманию в отношении переноса теории хаоса малой размерности на турбулентность. Поэтому мы сделаем здесь несколько осторожных замечаний по этому поводу.
Во-первых, идея хаоса не является новой. Больцман сделал предположение о молекулярном хаосе или Stossahlanzatz для того, чтобы замкнуть систему уравнений, которая позднее стала называться иерархией BBGKY. Даже в современном понимании теории хаоса ряд основных идей давно знаком исследователям турбулентности.
Предположим, что мы рассматриваем эйлеровское поле скорости U(t, x). Тогда это полностью детерминированная величина, определяемая уравнениями Навье–Стокса для любого момента времени при заданных начальных условиях. Как согласовать это утверждение с фактом появления турбулентности? Рейнольдс нашел, что безразмерное соотношение
(1)
дает критерий перехода от ламинарного течения к турбулентному. Здесь d и U – характерные длина и скорость, в данном случае – диаметр трубы и среднемассовая скорость, а n – кинематическая вязкость жидкости. Поскольку диаметр трубы и вязкость фиксированы, влияние числа Рейнольдса R можно интерпретировать как влияние безразмерной скорости. Когда безразмерная скорость превысит некоторое критическое значение, может возникнуть турбулентность.
Таким образом, на языке современной теории хаоса число Рейнольдса – это управляющий параметр. Когда оно превосходит некоторое критическое значение, решение уравнений Навье–Стокса становится чувствительным к начальным условиям и, следовательно, хаотическим в том смысле, что любая малая неопределенность в начальных условиях будет усиливаться, приводя к непредсказуемости поля скорости. Так, отдельная реализация турбулентного поля будет очень сильно отличаться от любой другой на уровне очень подробного описания, что полностью согласуется с современной теорией хаоса. Однако надо также иметь в виду, что любое турбулентное течение можно рассматривать как ансамбль множества реализаций (предполагая эргодичность, которая является слабым предположением, следующим из перемешивающего характера турбулентности). Так, среднее поведение, полученное по множеству реализаций, нечувствительно к бесконечно малым возмущениям начальных условий, т. е. заданный градиент давления приводит всегда к одной и той же среднемассовой скорости в трубе. Таким образом, детерминизм восстанавливается для средних величин, характеризующих систему.
Наконец, прежде чем перейти к обсуждению других вопросов, интересно отметить, что признаки лежащего в основе этих явлений хаоса можно обнаружить во многих сдвиговых турбулентных течениях. Например, в течении в трубе переход к турбулентности не является раз и навсегда произошедшим катастрофическим событием, он более похож на квазипериодический процесс, известный под названием «берстинга». Он может наблюдаться с помощью визуализации течения или с помощью осреднения по коротким отрезкам времени, содержащим идентичные нестационарные события. Этот тип когерентных структур (если использовать общий термин) более присущ свободным сдвиговым течениям, где открытие катящихся вихрей в турбулентном слое смешения [Браун, Рошко, 1974] стимулировало быстрый рост исследований в этой области.
Понятие перенормировки играет главную роль в современной теории турбулентности, и будет полезно сделать некоторые общие замечания, относящиеся к рассматриваемому вопросу, с этой точки зрения. Коротко говоря, этот термин пришел из квантовой физики и относится к процедуре исключения расходимостей, которые появляются тогда, когда делается попытка распространить дискретные формулировки динамики частиц на случай непрерывного поля. Эти расходимости появляются как на больших масштабах, так и на малых, и известны соответственно как «инфракрасные» и «ультрафиолетовые».
Следует подчеркнуть, что расходимости этого рода не присущи теории турбулентности. Некоторая путаница по этому поводу может возникнуть благодаря существованию инфракрасной расходимости при переходе к пределу бесконечных чисел Рейнольдса и является полностью искусственной ситуацией, рассмотренной с целью проверки частных теорий. Существование расходимостей – это крах теории, т. е. факт, который не нуждается в формулировке.
Смысл, который мы будем придавать термину «перенормировка», хорошо установлен ранее в статистической физике и физике взаимодействия многих тел. В общем случае он связан с представлением о квазичастицах, в котором взаимодействующие («голые») частицы заменяются на «одетые», которые уже не взаимодействуют. «Одетые» частицы перенормированы с помощью передачи им части энергии взаимодействия. Ранние систематические вычисления этого рода были проделаны Дебаем и Хюккелем в 1920-м году, которые исследовали электронный газ в электролите и учли электрон-электронное взаимодействие с помощью замены заряда отдельного электрона на зависящий от пространственных координат эффективный заряд. Подстановка эффективного заряда в закон Кулона привела к появлению экранирующего потенциала, в котором коллективное действие облака электронов можно было интерпретировать как экранирующий эффект. В наши дни подобная операция должна рассматриваться как перенормировка, а Дебай–Хюккелевская теория – как специальный случай перенормируемой теории возмущений.
В турбулентности аналогичная ситуация возникает с перенормировкой вязкости жидкости за счет добавления случайного влияния макроскопического вихревого движения для создания эффективной или турбулентной вязкости. Фактически эта идея была предложена Буссинеском ad hoc в 1890-х годах – первый пример ренормализованной величины! В этом смысле и будет далее использоваться термин «перенормировка», хотя временами это будет скорее неявно, чем явно.
Когда турбулентность рассматривается в контексте физики в целом и в контексте фазового перехода в частности, то естественно предположить, что известная проблема турбулентности состоит в том, чтобы предсказать критическое значение числа Рейнольдса фазового перехода от ламинарного течения к турбулентному. Это действительно проблема первостепенной важности, и она продолжает привлекать большое внимание. Но это не относится к содержанию этой книги.
Рассмотрим турбулентность в жидкости как явление природы, требующее статистического описания. В соответствии с этим, как и в микроскопической статистической физике, мы столкнемся с проблемой замыкания статистической иерархии. В пункте 2 эта проблема будет рассмотрена в том виде, как она появляется у гидродинамиков, которые соприкасаются с исследованием течений в трубах, струях и даже в таких сложных ситуациях, как обмен тепла и турбины. Это означает, в сущности, что статистические свойства таких течений осложнены зависимостью от координат (неоднородность) и от ориентации в пространстве (анизотропия). В пункте 3 мы рассмотрим вопрос о том, как можно переформулировать проблему турбулентности, чтобы она стала похожа на теорию поля в теоретической физике, т. е. чтобы она была однородной и изотропной. Центральным вопросом в этом пункте будет вопрос о том, как можно удовлетворительно сформулировать тестовые задачи для развиваемых здесь теорий с искусственной изотропией.
Однако, как мы увидим, хорошо развитая турбулентность может мыслиться как задача из области критических явлений с фазовым переходом к автомодельному поведению, демонстрирующему универсальность и масштабную инвариантность.
В пунктах 2 и 3 приведена формулировка проблемы с точки зрения гидродинамиков и физиков-теоретиков соответственно. Оставшиеся пункты посвящены использованию методов перенормировки решения задачи, сформулированной в пункте 3, т. е. не рассматривается вопрос практических приложений.
В пункте 4 рассматривается проблема замыкания в теории турбулентности с помощью методов статистической теории поля. Здесь общая стратегия состоит в том, чтобы начиная с теории возмущений и используя так называемое l-разложение, ренормализовать это разложение с помощью частных методов суммирования. Варианты теории рассматриваются с точки зрения их способности удовлетворять определенным целям.
В пункте 5 рассмотрен новый ренормгрупповой метод, в котором осуществляется эффективное сокращение степеней свободы, а управляющие уравнения перенормируются для того, чтобы сделать их независимыми от преобразования. Появление масштабной инвариантности характеризуется стационарной точкой. Этот пункт в действительности содержит модифицированную версию статистической проблемы замыкания, которая может мыслиться наиболее естественной с точки зрения ее компьютерной реализации.