Бесконечность и бесконечности

Давайте ненадолго отвлечемся от галактик и Вселенной и поговорим немного о бесконечности, ибо это понятие играет важнейшую роль в наших представлениях о Вселенной.

Бесконечность изучается математикой, тем ее разделом, который называется теорией множеств. Большинство из тех, кто не занимался этим вопросом специально, имеет о бесконечности весьма смутное (и наивное) представление. Интуитивно кажется, что бесконечность — это то, что получается, если неограниченно продолжать счет 1, 2, 3,... и т. д. без конца. Казалось бы, какая тут еще может быть теория бесконечного?

В действительности свойства бесконечного вовсе не исчерпываются неограниченным продолжением счета. Более того, эти свойства бесконечно разнообразнее и удивительнее любых свойств конечных чисел и их совокупностей.

Мы познакомимся с некоторыми из них. Начнем с рассказа, приписываемого знаменитому математику Д. Гильберту.

Представим себе гостиницу с бесконечным числом номеров, “перенумерованных” по порядку:

1, 2, З...

Все номера заняты. Поздно вечером приезжает еще один гость. “Свободных мест нет”, — говорит ему портье. “Это не играет роли, — вступает в разговор управляющий. — Переселим гостя из номера 1 в номер 2, гостя из номера 2 — в номер 3, гостя из номера 3 — в номер 4 и так далее, а вновь прибывшего гостя поместим в освободившийся номер 1”.

Среди ночи приезжает еще 1000 гостей. “Свободных мест нет”, — говорит им портье. “Неважно, — возражает управляющий. Переселим гостя из номера 1 в номер 1001, гостя из номера 2 — в номер 1002 и так далее, а вновь прибывших гостей поместим в освободившиеся номера от 1 до 1000”.

Не успели все гости разойтись по отведенным им номерам, как в гостиницу вваливается толпа. На этот раз вновь прибывших бесконечно много, и мы обозначим их A1, А2, А3... “Свободных мест нет”, — говорит портье. “Ничего страшного, — все так же спокоен управляющий. — Переселим гостя из номера 1 в номер 2, гостя из номера 2 — в номер 4, гостя из номера 3 — в номер 6 и вообще каждого гостя из последующего номера попросим переехать в номер с вдвое большим числом. Тогда гостей A1, А2, А3... мы сможем поселить в номерах 1, 3, 5,...”.

В этой истории наглядно показано, что в бесконечности часть может быть равна целому. Действительно, запишем бесконечное число четных номеров в виде бесконечного ряда, а под этим рядом напишем номера гостей 1, 2, З...

2, 4, 6, 8, ... 1, 2, 3, 4, ...


Каждому четному числу соответствует один номер гостя и наоборот. Значит, число четных чисел равно числу всех чисел натурального ряда. На первый взгляд это противоречит нашей интуиции. Ведь четные числа составляют лишь половину всех чисел. Это действительно так для любой конечной совокупности чисел. Но когда мы переходим к бесконечности, все меняется и часть может равняться целому, в чем мы наглядно убедились, сравнивая написанные выше два ряда.

О подобных же свойствах говорят и другие примеры, приведенные в шутливой истории Д. Гильберта.

Из приведенных выше примеров может показаться, что все бесконечности, так сказать, одинаковы, то есть что любое бесконечное множество элементов можно пересчитать с помощью бесконечного ряда натуральных чисел, как мы это сделали с четными числами.

Но это не так!

Знаменитый математик Г. Кантор в прошлом веке доказал, что число точек на отрезке прямой сосчитать никаким способом нельзя. Их нельзя перенумеровать с помощью бесконечного ряда натуральных чисел, приписывая каждой точке свой номер, в каком бы порядке мы ни выбирали эти точки. Всегда останется хотя бы одна точка, на которую не хватит номера!

Понять это не так уж сложно. В самом деле, представим себе, что мы взяли отрезок единичной длины и положение каждой точки характеризуем расстоянием ее от левого конца, принятого за ноль. Эти расстояния будем записывать в виде десятичной дроби. Точнее, положение каждой точки записывается, вообще говоря, в виде бесконечной десятичной дроби, у которой после запятой имеется бесконечный ряд десятичных знаков. Конечно, в исключительных случаях все знаки начиная с некоторого могут оказаться нулями.

Представим далее, что вопреки нашему утверждению кому-то удалось перенумеровать точки этого отрезка. Тогда мы выпишем десятичные дроби, характеризующие положения этих точек на отрезке, в порядке их номеров в виде таблицы. В первой строчке запишем бесконечную дробь для положения точки, получившей первый номер, во второй строчке бесконечную дробь для точки, получившей второй номер и т. д. Наша таблица может выглядеть, например, так

0,32869700833....

0,91967138452....

0,00063700114.....

.........

Покажем, что обязательно есть точка отрезка, не вошедшая в этот список, и, следовательно, список неполон.

Для того чтобы записать десятичную дробь, характеризующую положение этой точки на отрезке, поступим следующим образом. Запишем первым знаком после, запятой в десятичной дроби, любую цифру, отличающуюся от первой цифры после запятой в первой строчке нашей таблицы (то есть в .нашем примере не 3, ,а, скажем, 5). Вторую цифру в нашей дроби запишем любую, но отличающуюся от второй цифры во второй строчке таблицы (в нашем, примере не 1); и так далее, будем поступать до бесконечности., Ясно, что, мы получим дробь, которой нет в нашем списке. Действительно, она не, совпадает с первой строчкой, так как заведомо отличается, первая цифра после запятой, не совпадает со второй строчкой, так как заведомо отличается вторая цифра после запятой и т. д.

Точка, расстояние которой записано этой дробью”, пропущена в нашем бесконечном списке и, значит, не имеет номера.

Казалось бы, можно начать нумеровать с этой точки, а уж потом давать номера всем остальным. Как шутливо замечает голландский математик Г. Фрейденталь, именно так поступил человек, побившийся об заклад съесть 20 картофелин. Съев 19 из них и .чувствуя с.ебя не .в силах проглотить последнюю картофелину, этот человек со вздохом заметил: “С нее-то мне и следовало бы начать”.

Разумеется, если начать нумеровать с только что указаной точки, оставшейся без номера, то тем же способом можно найти другую точку, оставшуюся без номера ври новом способе нумерации.

Наверное, читатель несколько, устал от необходимости следить за необычным построением, но уж очень оно важно, и хотелось его привести для того, чтобы дать хоть немного почувствовать, насколько необычные свойства мы . встречаем в царстве бесконечности, :

Итак, точек на единичном отрезке прямой заведомо больше, чем бесконечных чисел натурального ряда. Математики говорят, что бесконечность точек на отрезке прямой более мощная, чем бесконечность чисел натурального ряда.

Значит, бесконечности не все одинаковые. Среди них есть более мощные, то есть более богатые элементами, и менее мощные.

Новиков И.Д.