Турбулентность как ветвь статистической физики
В этом пункте мы будем следовать схеме изложения, сходной со схемой пункта 2, интересуясь главным образом структурными основами турбулентности. То есть рассмотрим корреляции скоростей в двух или более точках (и моментах времени), тогда как в пункте 2 рассматривались только одноточечные корреляции. Основы такого подхода изложены Тейлором (1935) в статье, в которой были введены также понятия статистической однородности и изотропии, шаг, который перевел теорию турбулентности из разряда инженерной науки в разряд области физики. В следующей работе [Тейлор, 1938а] было завершено определение энергетического спектра через волновые числа (т. е. использовано преобразование Фурье от двухточечной пространственной корреляции), и, как мы теперь понимаем, вычисление этого спектра является главной целью фундаментальной теории турбулентности.
Двухточечные корреляции второго порядка (или моменты) поля скоростей играют ведущую роль в теории турбулентности. Поэтому обратим некоторое внимание на связи между двухточечным (фундаментальным) и одноточечным (инженерным) подходами к решению проблемы турбулентности. В частности, поскольку многоточечная теория является более общей по сравнению с двухточечной, мы будем интересоваться условиями, при которых она сведется к одноточечной.
Начнем с того, как реально можно измерить корреляции в двух точках, например, в течении в трубе. Можно предположить, что у нас есть анемометр, который измеряет все три скалярных компонента флуктуирующей скорости в одной точке x. Если у нас есть второй такой анемометр в точке x¢, то в принципе мы должны перемножить все пары сигналов и усреднить полученное произведение, чтобы получить девять скалярных компонентов корреляционного тензора Qab, который определяется соотношением
, (57)
Каждый компонент корреляционного тензора сам по себе является функцией восьми скалярных переменных. Поэтому мы прежде, чем начнем создавать множество данных, попытаемся аккуратно рассмотреть вопрос о том, как можно решить такую задачу наиболее систематическим образом. В своей существенной части корреляции скорости, как можно ожидать, зависят от двух вещей. Во-первых, если мы достаточно далеко раздвигаем точки, в которых производится измерение, то можем ожидать, что корреляция исчезает. Таким образом, корреляция будет зависеть от расстояния между измеряемыми точками. Во-вторых, величина корреляций должна, при фиксированном расстоянии между точками, зависеть от абсолютных величин компонентов скорости. Если мы обратимся к экспериментальным результатам, относящимся к сдвиговым течениям (например, рис. 5), то увидим, что величины корреляции, при заданном расстоянии между точками, зависят от расстояния до оси трубы.
На практике очень хорошим способом решения этой задачи является жесткое закрепление двух анемометров с помощью устройства, которое позволяет менять расстояние между ними контролируемым образом. Кроме того, сама эта система закрепляется на втором аналогичном устройстве, которое позволяет менять положение пары как целого в трубе, так что влияние изменения расстояния между датчиками можно исследовать в каждой точке независимым образом.
Формально эта процедура соответствует замене переменных, т. е. мы представляем двухточечную корреляцию в виде функции переменных
, (58)
, (59)
где R – это координаты центра (или абсолютные координаты), а r – разностные координаты (или относительные координаты).
Аналогичное преобразование может быть выполнено для переменных по времени t и t¢, при этом получим
, (60)
где
, (61)
. (62)
Ясно, что если положить x = x¢ в выражении (60), то получим одноточечную корреляцию, которой мы интересовались в наших предыдущих рассмотрениях, где она встречалась как напряжение Рейнольдса. В этом случае ее зависимость от абсолютного положения точки является важным свойством.
Однако если мы хотим достигнуть фундаментального понимания турбулентности, то нам необходимо сосредоточиться на том, как корреляции зависят от относительных координат. Понятно, что нам хотелось бы установить, где турбулентность является чисто детерминистическим процессом (т. е. ламинарным течением), а где полностью случайным (т. е. таким, как подбрасывание монеты или бросание костей).
Ранее мы видели, как могут упроститься статистические уравнения, полученные с помощью усреднения уравнений Навье–Стокса, при описании течения в канале. Для того чтобы исследовать физику турбулентности, нам необходимо сосредоточиться на простейшей нетривиальной задаче, и давно признано, что такой задачей является однородная изотропная турбулентность. Мы начнем с краткого обсуждения двух подходов. Следует заметить, что в этом пункте переменные по времени нас не интересуют, поэтому выкладки будут выглядеть проще, если эти переменные не указывать явно.
Термин «однородность» в действительности есть сокращение от «пространственной однородности» и означает независимость средних величин от абсолютных координат для заданного направления. Так, течение в канале, рассмотренное ранее, по предположению однородно по координатам x1 и x3. Однако неопределенный термин «однородность» обычно применим к полям, которые являются трансляционно инвариантными во всех трех взаимно перпендикулярных направлениях, т. е. тот случай, который мы здесь рассматриваем.
Наиболее важное применение этого ограничения состоит в том, что выражение (60) можно записать как функцию только от относительных координат, т. е.
, (63)
и аналогично для моментов более высокого порядка. Кроме того, корреляция не должна зависеть от замены x на x¢, т. е. является симметричной функцией r:
. (64)
Дополнительное ограничение, связанное с изотропией, определяется независимостью от направления. Формально это означает, что все моменты скорости инвариантны относительно вращения системы координат и относительно отражений от координатных плоскостей. Принципиальным моментом является также требование дополнительной симметрии:
(65)
Можно вывести дальнейшие следствия из изотропии при первом рассмотрении одноточечных моментов. Можно показать, что все недиагональные элементы одноточечного корреляционного тензора равны нулю, т. е.
, (66)
а диагональные элементы все равны
, (67)
где áu2ñ – средний квадрат флуктуационной скорости в некотором направлении. Отсюда следует, что одноточечный изотропный корреляционный тензор может быть записан как
, (68)
где E – кинетическая энергия турбулентных флуктуаций на единицу массы жидкости, а dij – символ Кронекера.
Таким образом, одноточечный корреляционный тензор может быть выражен через одну скалярную константу. Как мы увидим далее, двухточечный корреляционный тензор может быть также сведен к одному скаляру, который в данном случае является уже функцией расстояния между x и x¢.
Теперь рассмотрим вопрос о том, насколько реализуемо представление об изотропной турбулентности. Возвращаясь назад к результатам, относящимся к течению в трубе как типичному примеру, из рис. 4 можно видеть, что среднеквадратичные компоненты скорости сильно отличаются друг от друга, следовательно, соотношение (67) не выполняется. Подобным же образом рис. 5 показывает, что áu1 u2ñ не равно нулю, за исключением оси симметрии трубы, следовательно, соотношение (66) не выполняется также. Отсюда ясно, что течение в трубе крайне анизотропно и это относится к большинству течений, так как наличие границ и наложенного извне градиента давления неизбежно приводит к выделению предпочтительного направления.
Все это убеждает нас, что изотропные турбулентные течения надо искать там, где имеются большие физические объемы газа или жидкости с заметной областью, удаленной от границ. Очевидным примером являются геофизические течения, наблюдаемые в атмосфере или океане.
В противоположном случае течений, наблюдаемых в лабораторных условиях, можно рассмотреть другой предел и сосредоточиться на вихрях малого размера, относительно которых можно надеяться, что они не подвержены влиянию твердых границ. Этого можно достигнуть, поддерживая расстояние между измеряемыми точками малым по сравнению с масштабами длины, на которых заметна неоднородность – так называемая «локальная изотропия».
Оба подхода могут приводить к очень хорошей аппроксимации изотропной турбулентности. Однако развитию предмета сильно способствовало изобретение искусственного вида турбулентности. Это турбулентность, сгенерированная решеткой. Для краткости мы будем ее называть «решеточная турбулентность». Она может быть создана в лабораторных условиях следующим образом.
Предположим, что воздух, текущий в аэродинамической трубе, проходит через ячейки решетки. Физическая ситуация, с которой мы сталкиваемся здесь, такова, что пограничные слои на стенках трубы тонкие, поэтому большая часть потока представляет собой потенциальное ядро (другими словами, течение в аэродинамической трубе соответствует входной области течения в трубе). В этих условиях вихревая дорожка генерируется каждым стержнем, из которых сделана решетка, и при условии точного подбора параметров решетки многочисленные дорожки сливаются вместе вниз по течению, создавая турбулентное поле. Эксперимент показал, что такие поля являются приближенно изотропными (см. [Голдстейн, 1938], с. 228–229).
К сожалению, решеточная турбулентность не может быть полностью однородной, так как она затухает в направлении движения жидкости. Тем не менее, переходя в систему координат, движущуюся вместе с жидкостью, можно сделать турбулентность математически эквивалентной изотропной турбулентности, которая свободно затухает во времени. Если движение происходит вдоль оси x1, то вышесказанного можно добиться, введя преобразование
, (69)
где – переменная, описывающая затухание во времени.
На практике получено, что ранние стадии затухания могут сильно зависеть от конструкции решетки, создающей турбулентность. Это не так уж и удивительно, но можно ожидать, что достаточно далеко от решетки вниз по течению турбулентность будет независима от способа ее генерации и примет универсальный вид, подчиняющийся только уравнению движения. Эксперименты подтверждают это.
Возвращаясь к двухточечным корреляциям, напомним, что можно свести девять скалярных функций, которые (в принципе) необходимо знать, к одной. Общий метод, который позволяет это сделать, был предложен Робертсоном (1940) и основывается на том, что изотропный тензор может быть выражен через инварианты группы вращения. Здесь мы изложим только наиболее интересные моменты.
Робертсон показал, что изотропная двухточечная корреляция может быть записана в виде
, (70)
где A и B – четные функции от r = |r|. Заметим, что этот результат сводится к соответствующему одноточечному, если положить r нулю.
Хотя выражение (70) удовлетворяет всем требуемым симметриям, мы можем еще привлечь уравнение неразрывности для установления связи функций A и B. Однако сначала мы выразим эти функции через продольный и поперечный корреляционные коэффициенты.
Это может быть сделано следующим образом. Введем две точки и направление от точки к точке, т. е. вектор, соединяющий эти две точки. В декартовой системе координат три отличных от нуля коэффициента корреляции равны друг другу. Если основываться на системе координат, связанной с двумя точками, то существует два других коэффициента. Корреляция может вычисляться вдоль направления между точками по скорости, параллельной r, или по поперечным компонентам uT, которые перпендикулярны r. Во втором случае возможно вычисление двух одинаковых корреляций.
Продольный и поперечный коэффициенты корреляции f и g можно ввести с помощью соотношений
, (71)
, (72)
где f(r) и g(r) – четные дифференцируемые функции r, удовлетворяющие условию f(0) = g(0) = 1, а также f¢(0) = g¢(0) = 0. Мы должны также потребовать, чтобы x = x¢ + r.. Можно связать f(r) и g(r) с коэффициентами A и B в (70), рассматривая специальный случай, когда r направлен вдоль x1. То есть x = 0, а r = (r1, 0, 0). Тогда, полагая a = b = 1 в (70), получим
, (73)
где последний шаг следует из (71). Аналогично можно положить a = b = 2 в (70), при этом получим
. (74)
Очевидно, (74) дает нам связь коэффициента B с g(r), и если мы подставим этот результат в (73), то легко получим связь A с f(r) и g(r). Тогда уравнение (70) может быть записано в виде
(75)
Наш последний шаг состоит в исключении функции g(r), связав ее с функцией f(r). Мы сделаем это, продифференцировав соотношение (75) по ra и привлекая уравнение неразрывности. После простых выкладок и небольшой перегруппировки членов легко находим, что двухточечная изотропная корреляция может быть выражена через одну скалярную функцию следующим образом:
, (76)
где штрих означает дифференцирование по r. Для частного случая r = 0 можно заметить, что
(77)
где Tr – след, т. е. сумма диагональных элементов матрицы.
Два важных масштаба можно определить с помощью продольного корреляционного коэффициента f(r). Первый – это микромасштаб Тейлора l. Это дифференциальный масштаб длины и его можно получить следующим образом. Предположим, что мы разложили функцию f(r) в ряд в точке r = 0. Тогда требуя, чтобы f(r) была симметричной функцией от r, т. е. f¢(0) = 0, можно написать
, (78)
, (79)
т. е. мы определили микромасштаб, аппроксимируя параболой корреляционную функцию в области малых r.
Продольный интегральный масштаб L определяется выражением
(80)
Можно проиллюстрировать физический смысл L (хотя и не строго), придавая экспоненциальный вид корреляционной функции. (На практике этот вид может быть очень хорошей аппроксимацией, хотя ясно, что он непригоден в точке r = 0, где мы требуем выполнения условия f¢(0) = 0 из соображений симметрии.)
Исключительно для этой цели рассмотрим f(r) =
= exp(–b r), где b – некоторый параметр с размерностью обратной длины. Подставляя это выражение в (80), легко найдем, что L = 1/b. Другими словами, если корреляция была экспоненциальной по виду, то интегральный масштаб – это длина, на которой корреляция изменяется от 1 до 1/e.
Турбулентность – это существенно нестационарное явление. Тем не менее, можно отличать ситуации, когда средняя скорость зависит от времени, от ситуаций, когда зависимость от времени отсутствует. Например, каждодневным образчиком этого является ситуация, когда мы пользуемся трубой для стока воды, соединенной с краном. Теперь представим, что мы открываем и закрываем кран. Во время этих манипуляций средняя скорость воды в трубе будет меняться со временем. Но если допустить, что внешние факторы (установка крана, регулировка сопла или окружающие условия) будут постоянны, то очевидно, что средняя скорость воды будет также постоянна – условие, которое мы ранее назвали «стационарное среднее течение».
Распространение этой идеи на многовременные моменты дает нам представление о стационарности. Формально величина ua(x, t) есть стационарная случайная величина, если связанное с ней распределение вероятностей зависит только от разности моментов времени, входящих в ее определение, но не от их абсолютных величин.
В качестве примера рассмотрим двухточечную корреляцию. Временно опуская зависимость от пространственных координат и тензорные индексы, получим из соотношений (57) и (60):
, (81)
где t и T – соответственно относительное и абсолютное времена. Тогда, если u(t) – стационарная случайная функция, соотношение (81) примет вид
, (82)
причем
. (83)
Таким образом, стационарность – это однородность во времени.
Использование Фурье-анализа приводит к трем главным выигрышам. Он сводит дифференциальный оператор к мультипликативному, дает относительно простую картину турбулентности и позволяет определить число степеней свободы турбулентной системы. Мы начнем рассмотрение с турбулентной жидкости, занимающей куб со стороной L. Поле скорости (или какая-либо другая динамическая переменная) может быть разложено в ряд Фурье следующим образом
, (84)
где волновой вектор k определен соотношением
, (85)
а n1, n2 и n3 – целые числа, по каждому из которых суммирование проводится от минус до плюс бесконечности.
Надо заметить, что нами используются одинаковые обозначения для полей, независимо от того, является ли это поле физической скоростью или ее Фурье-образом. Несмотря на то, что в математических монографиях используются другие обозначения, обозначения, принятые ниже, являются обычными в работах подобного рода. Путаницы при этом не происходит, наоборот, очень удобно представлять величину ua(k, t) как поле скорости в пространстве волновых чисел.
Мы начнем с преобразования уравнения неразрывности, так как это позволит нам довольно легко сдвинуться с места. Поскольку мы ограничиваемся изотропными полями с нулевым средним, то соотношение (15) можно упростить
. (86)
Тогда, подставляя (84) в (2) и проводя дифференцирование, получим
. (87)
Это соотношение должно выполняться для всех exp(ik×x). Поэтому уравнение неразрывности принимает вид
, (88)
т. е. векторы u(k) и k взаимно ортогональны.
Займемся теперь преобразованием уравнения Навье–Стокса. При этом придется представить поле давления тоже в виде ряда Фурье, коэффициенты ряда обозначим через p(k) по аналогии с полем скорости. После этого надо подставить выражения для скорости и давления, записанные через Фурье-компоненты, в уравнение (5). Мы получим требуемую форму, учтя следующие моменты:
· · Каждая производная по пространственным переменным заменяется при переходе к пространству волновых чисел на соответствующий компонент волнового вектора мультипликативно.
· · Нелинейный член является произведением в физическом пространстве, поэтому, согласно теореме о свертке, он должен перейти в свертку в пространстве волновых чисел.
В соответствии с этим, представляя переменную суммирования в свертке через j, можно записать преобразованное уравнение Навье–Стокса следующим образом:
. (89)
Здесь и далее полагается, что r = 1 (так как жидкость несжимаемая). Следует заметить, что нелинейный член после преобразования Фурье представляет взаимодействие мод c волновыми векторами j с модами c волновыми векторами j – k, в результате которого образуются моды с векторами k. Это явление известно как нелинейное смешение. Оно лежит в основе хаотического поведения жидкости.
Уравнения (88) и (89) вместе определяют две неизвестных величины: скорость и давление. Можно исключить одно уравнение и одну неизвестную величину и тем самым получить соленоидальное уравнение Навье–Стокса в виде, который является отправной точкой во многих современных теориях турбулентности.
Мы сделаем это следующим образом. Умножим каждый член в уравнении (89) на ka и просуммируем по a. Из уравнения неразрывности в форме (88) немедленно следует, что оба члена в левой части уравнения исчезают. Поэтому, перегруппировав оставшиеся члены, можно записать давление в виде
. (90)
Ранее мы отмечали, что давление в действительности является нелинейной величиной, оправдание этому теперь очевидно.
Продолжая процедуру вывода, подставим выражение (90) для давления в уравнение Навье–Стокса, замечая, что индекс a теперь является немым и может быть заменен на индекс g, чтобы устранить путаницу с обозначениями, возникшую в уравнении (89). Кроме того, используя свойства символа Кронекера, получим окончательно
, (91)
где
, (92)
. (93)
Отметим, что нами использована инвариантность нелинейного члена по отношению к замене волновых векторов и индексов для того, чтобы записать правую часть уравнения (91) в симметричном виде, в котором используется оператор инерциального переноса (92). Легко проверить, что решение уравнения (91), если оно удовлетворяет уравнению неразрывности (88) в начальный момент времени, будет решением во все последующие моменты времени. Умножая каждую часть уравнения на ka, легко обнаруживаем, что левая часть уравнения, благодаря соотношению (88), исчезает. Правая часть уравнения (91) тоже исчезает, что является следствием важного свойства оператора Dab(k):
. (94)
Для того, чтобы развить формализм, основанный на уравнении (91), мы должны знать кое-что об общих свойствах иерархии моментов в пространстве волновых чисел. Мы начнем с рассмотрения свойства однородности, которое в конфигурационном пространстве x означает инвариантность по отношению к сдвигам.
Временно опуская зависимость от времени, запишем выражение для коэффициентов Фурье в выражении (84) следующим образом
, (95)
из которого следует, что двухточечная корреляция в k-пространстве может быть связана с соответствующей величиной в x-пространстве соотношением
(96)
Теперь мы воспользуемся свойством инвариантности в виде
,
и соотношение (98) можно переписать в виде
(97)
На этом шаге можно выполнить интегрирование по x, поэтому с учетом
корреляция в пространстве волновых чисел примет вид
. (98)
Таким образом, если мы находим корреляцию двух различных мод k и k¢, то получим неисчезающий вклад только при условии k + k¢ = 0. Аналогично можно показать, что для моментов третьего порядка
(99)
и, в общем случае, свойство однородности для момента произвольного порядка означает, что он равен нулю, если сумма волновых векторов, его определяющих, не равна нулю. Наконец, для того, чтобы получить предел системы с бесконечным объемом, мы определим тензор корреляции в пространстве волновых чисел следующим образом:
(100)
и
. (101)
Ясно, что эта процедура может быть индуктивно продолжена в направлении определения тензоров произвольного порядка.
Ранее было дано короткое введение в приложение теории инвариантов Робертсона (1940) к тензору изотропных корреляций в конфигурационном пространстве. Тот же метод может быть применен к тензору изотропного спектра (например, [Бэтчелор, 1971]), который существенно проще использовать в пространстве волновых чисел, хотя здесь мы только приведем окончательные результаты. Применяя те же рассуждения, что и ранее, получим результат, аналогичный уравнению (70), удовлетворяющий всем требованиям симметрии. Кроме того, используя уравнение неразрывности для исключения одного из скаляров, получим требуемый общий вид:
. (102)
Для случая одновременных корреляций:
. (103)
Для случая, когда корреляции не зависят от времени:
. (104)
Из выражения (102) следует, что описанный выше вид изотропного спектра удовлетворяет условию неразрывности ka Qab(k) = 0 для произвольного q(k). Эта процедура может быть распространена на моменты более высокого порядка, но поскольку нас интересует замыкание на уровне вторых моментов, мы не будем это делать, упомянув для полноты результат Орзага (1969), который рассмотрел общую проблему представления изотропного момента произвольного порядка с помощью скалярных функций.
Рассмотрим физическую интерпретацию функции q(k) и попытаемся оправдать название тензора Qab(k) «спектральный». Для начала вычислим след тензора Qab(k), используя выражение (102):
. (105)
Теперь можно связать Tr(Qab(k)) с энергией E на единицу массы жидкости следующим образом. Из соотношения (68) получим
, (106)
где необходимое интегрирование по углам легко выполняется. В этом выражении E(k)dk – это вклад в полную энергию от гармонических компонентов с волновыми векторами, лежащими в спектральном интервале между k и k + dk:
. (107)
Обычно величина E(k) называется «волновым спектром». Более формально эта величина представляет распределение энергии по волновым числам (или по угловым пространственным частотам), поэтому, в силу предыдущего соотношения, можно интерпретировать величину q(k) как плотность вкладов в полную энергию в пространстве волновых чисел. Поэтому мы будем называть ее спектральной плотностью.
Мы обсудили трехмерный энергетический спектр, который является ключевым понятием в турбулентности, однако на практике бывает более удобным измерять частотный спектр одной флуктуирующей скорости в продольном направлении. Фактически огромный массив экспериментальных данных представляет из себя спектры этого вида, поэтому нам нужно рассмотреть задачу о том, как связать измеренные спектры с теоретическими. Как обычно, мы рассматриваем движение жидкости в направлении x1, а анемометр расположен в одной точке для измерения флуктуаций скорости u1. Если сигнал анемометра пропустить через спектральный анализатор, то флуктуации скорости будут разложены на гармоники по (угловой) частоте w. Затем, если выходной сигнал возвести в квадрат и усреднить, то результирующий спектр E11(w) с необходимостью обладает следующим свойством
. (108)
Возможность выразить частотный спектр через волновой связана всецело с гипотезой «замороженной конвекции» [Тейлор, 1938]. Тейлор предположил, что изменения u1 во времени в фиксированной точке обусловлены прохождением замороженной турбулентной структуры при условии, что средняя (набегающая) скорость, содержащая турбулентные вихри, значительно больше турбулентных флуктуаций, т. е. можно связать поле скорости в разные моменты времени преобразованием
,
и, следовательно, локальная производная по времени в точке может быть заменена на конвективную производную при условии u¢ << U1:
. (109)
Гипотеза Тейлора часто рассматривается как имеющая отношение к практике, она широко используется в экспериментальных работах по турбулентности. Однако в лучшем случае эта гипотеза является аппроксимацией и, следовательно, при улучшении техники эксперимента подвергается критической оценке (см., например, [Заман, Хуссейн, 1981] и [Браун, Антония, Раджагопалан, 1983]). В рамках нашего изложения уравнение (109) эквивалентно
. (110)
В соответствии с этим можно определить
. (111)
Поэтому из (110), (111) и (108) следует
. (112)
Таким образом, частотный спектр может быть связан с однокомпонентным спектром в пространстве волновых чисел, но только для одной скалярной переменной. Обобщение на случай трех измерений очень просто и может быть найдено в книге [Бэтчелор, 1971] или с большими подробностями в [Хинце, 1975; с. 208–209].
Начнем работу в этом пункте с использования уравнения (91) в качестве основы формулировки проблемы замыкания для изотропной турбулентности в пространстве волновых чисел. Сначала рассмотрим уравнение для средней скорости. Если усреднить обе части уравнения (91), то в результате получим
(113)
Но теперь из уравнения (99) получаем, что
,
если j + k – j¹0, и правая часть уравнения для áua(k, t)ñ обращается в ноль, поскольку Mabg(0) = 0. Этот результат конечно же согласуется с нашим предыдущим наблюдением, в котором равенство нулю средней скорости (или по меньшей мере постоянство по всему пространству) влекло за собой однородность и изотропию турбулентного движения. Уравнение для двухвременной корреляции можно получить умножением каждого члена уравнения (91) на ua(–k, t¢) с последующим усреднением:
(114)
Кроме того, можно записать его через компоненты корреляционных тензоров. Используя выражение (100) и перейдя к системе бесконечного размера, получим
(115)
Нашей главной целью является получение замкнутой формы уравнения (115), записанной исключительно через Qas(k; t, t¢), и это то, что мы рассмотрим более подробно несколько позже. Поэтому хотя и очень просто выводить уравнения для моментов более высокого порядка иерархическим образом, мы не будем заниматься этим. Однако можно закончить этот этап преобразованием уравнения (115) к изотропной форме. Воспользовавшись уравнением (102) для изотропного корреляционного тензора и полагая s = a, с последующим суммированием по a, получим
, (116)
, (117)
где было использовано соотношение Tr(Dab(k)) = 2.
При рассмотрении одновременных моментов ситуация сильно меняется. Для начала отметим, что вывод уравнений менее прямолинеен, чем в двухвременном случае. К тому же на поздней стадии нам понадобятся члены более высокого порядка из одноточечной иерархии в явной форме. В соответствии с этим на этом этапе мы можем вывести эквивалент уравнения (115) и следующее за ним уравнение. Снова нашей отправной точкой является уравнение (91) для ua(k, t). Умножаем каждый член в этом уравнении на us(–k, t), но прежде чем усреднить его, мы выписываем второе уравнение из (91) для us(–k, t), умноженное на ua(k, t), и складываем их вместе. Уравнение для одновременных корреляций легко приводится к виду
(118)
где второй член в правой части уравнения получен из первого заменой k на –k и a на s.
Переходя к системе бесконечного размера, получим
(119)
Аналогичным образом можно получить уравнение для моментов третьего порядка, образовав сначала три уравнения из (89) для ua(k, t), ur(k, t) и us(k, t). Тогда каждое из этих уравнений умножается на дополнительную пару скоростей, и после операции сложения и усреднения получается
(120)
где второй и третий члены в правой части могут быть получены из первого указанной перестановкой. Следующие уравнения в этой последовательности можно найти в работе Орзага и Крускала (1968).
Далее мы снова рассмотрим уравнение энергии для турбулентных пульсаций. При этом надо заметить, что теперь мы имеем дело с ситуацией, когда средняя турбулентная энергия постоянна по пространству. Поэтому когда мы будем рассматривать перенос турбулентной энергии, то будем иметь в виду пространство волновых чисел. Кроме того, можно рассматривать передачу энергии от вихрей одного размера к вихрям другого размера – этот процесс носит название энергетического каскада.
Нашей исходной точкой будет уравнение (118) для одновременной корреляции. Конкретизировать левую часть этого уравнения для изотропного случая можно, воспользовавшись соотношением (102), которое приводит спектральный тензор к изотропному виду. После этого можно получить уравнение для энергетического спектра E(k, t), определенной соотношением (107), которой теперь обобщается на случай зависимости от времени. Если положить s = a, просуммировать по a и (помня, что Tr(Dab(k)) = 2) умножить каждый член уравнения (118) на 2pk2, то получим
, (121)
где нелинейный член T(k, t) определяется выражением
(122)
здесь последний шаг следует из условия однородности, согласно которому момент третьего порядка не может изменяться при замене k на –k, аоператор переноса Tabg(k) меняет знак на обратный. Когда мы обсуждали вопрос о сохранении турбулентной энергии ранее, то отмечали, что нелинейные члены сохраняют энергию. Следствием этого является то, что T(k, t) может только перераспределить энергию в пространстве волновых чисел, поэтому при интегрировании каждого члена в уравнении (121) по k, как это следует из (106), получим
. (123)
Скорость затухания полной кинетической энергии флуктуаций (на единицу массы жидкости) в точности совпадает со скоростью диссипации. Следовательно, уравнение (123) дает нам простое выражение для скорости диссипации e в случае изотропной турбулентности, которое можно записать следующим образом:
. (124)
Представляет интерес проверить, что вклад от T(k, t) действительно исчезает при интегрировании по всем волновым числам. Это можно сделать таким образом. Исходя из определения (93) для Dab(k), можно показать, что
, (125)
и, таким образом,
, (126)
где временно сделана замена немой переменной l = k – j. Тогда из (122), (126) и (92) следует, что можно представить интеграл от T(k, t) в виде
(127)
где немые переменные были заменены, а немые тензорные индексы оставлены. В этом месте было использовано также уравнение неразрывности в виде
, (128)
из которого следует также
. (129)
Ясно, что при этом мы можем заменить kg в первом члене правой части (127) на kg – lg = jg. В результате получим
. (130)
Поскольку каждый момент третьего порядка симметричен относительно перестановки k на j, видно, что подынтегральное выражение антисимметрично относительно этой перестановки и поэтому интеграл равен нулю при интегрировании по всему пространству по этим переменным. Отсюда видно, что
. (131)
Позже мы увидим, что не только результат, полученный здесь, важен, но и важен способ, которым он получен.
Высокий уровень флуктуаций завихренности является характерным для турбулентных течений. Этот факт вместе с историей развития гидродинамики как самостоятельного предмета исследований очень тесно соприкасается с вихревыми движениями, делая естественным интерпретацию турбулентности на языке вихрей. В настоящее время вихревая интерпретация турбулентности может показаться недоразвитым ответвлением рассматриваемой темы исследований по сравнению, скажем, со статистической теорией, основанной на поле скорости. Тем не менее она является направлением, важность которого растет, в особенности при изучении когерентных структур, а также при интерпретации результатов компьютерного моделирования турбулентности. Полная формулировка вихревого метода выводит нас за пределы рассматриваемой темы, поэтому интересующиеся исследователи могут обратиться к книге Шорина [Шорин, 1994]. Здесь мы рассмотрим только основные идеи. Вернемся в конфигурационное пространство. Поскольку завихренность w есть ротор поля скорости, подействуем этим оператором на уравнение (5) и получим (см., например, [Бэтчелор, 1967]):
, (132)
где D/Dt означает полную производную от времени и содержит конвективные производные ub ¶/¶xb, которые действуют на wa. Это уравнение движения для завихренности.
Оно говорит нам, что скорость изменения завихренности зависит от взаимодействия завихренности с градиентами скорости и от ее диссипации за счет вязкости. Чтобы лучше понять влияние взаимодействия членов в правой части уравнения (132), рассмотрим вихревую трубку в направлении оси x1. Можно рассматривать эту структуру как длинный тонкий цилиндрический элемент жидкости, вращающийся вокруг своей оси, которая также расположена вдоль оси x1. Это означает, что мы принимаем b = 1 в уравнении (132) и смотрим, что произойдет с точки зрения физики, когда a = 1, 2, 3.
Игнорируя вязкие эффекты, рассмотрим теперь случай a = 2 или a = 3. В любом случае градиент является сдвиговым и стремится заставить вращаться жидкий элемент. Ясно, что в результате наша гипотетическая вихревая трубка будет стремиться развернуть свою ось в направлении x2 или x3 соответственно. Таким образом, влияние подобного рода взаимодействия состоит в обмене завихренностью между тремя скалярными компонентами w. Оставшийся случай соответствует a = 1. В этом случае градиент ¶u1/¶x1 является продольным, поэтому если он положителен, то будет растягивать вихревую трубку в направлении x1, площадь поперечного сечения трубки при этом будет уменьшаться. Сохранение углового момента (на единицу массы) может быть выражено в виде
,
где r – радиус вихревой трубки. Поэтому при уменьшении радиуса под влиянием продольного градиента угловая скорость (пропорциональная w1) будет увеличиваться, а вместе с ней и энергия w1 r2, определяемая масштабом r, тоже будет увеличиваться. Следовательно, энергия преобразуется в малые масштабы.
Конечно, при этом надо рассмотреть вопрос, что случится, если градиент будет отрицательным. Ясно, что отдельное воздействие, содержащее отрицательную скорость деформации, будет иметь противоположный эффект по сравнению с рассмотренным, приводя к сжатию вихревой трубки, а не к растяжению. Обсуждение этого аспекта часто приводит к необходимости обращаться к утверждениям, относящимся к общим свойствам случайного блуждания, согласно которым расстояние между двумя блуждающими точками в среднем со временем растет или бесконечно малый линейный элемент в среднем растягивается в однородной изотропной турбулентности ([Бэтчелор, 1952], [Кок, 1969], [Орзаг, 1970], [Коррзин, 1972], [Дар, 1976]), хотя доказательство не может быть строго обобщено на случай завихренности или конечную длину элемента. Однако как только статистический ответ приобретает какой-то смысл, мы замечаем, что наличие вязкости приводит к стоку энергии на малых масштабах и к необратимости. То есть в среднем передача энергии должна происходить в направлении малых масштабов.
Имея это в виду, следует заметить, что существует тенденция извлекать много смысла из конкретной реализации турбулентного течения, полученного либо с помощью методов визуализации, либо методом прямого численного моделирования. При этом надо осознать, что эта информация является единичной реализацией и мало что может сказать нам о среднем поведении.
Представление об изотропной турбулентности является весьма искусственным, поскольку требует, чтобы некоторое свойство, которое, естественно, присутствует в какой-то степени во всех турбулентных течениях, было доминирующим или характеристическим, по крайней мере, в некоторых турбулентных полях. Следствием этого является цена, которую мы платим за относительную аналитическую простоту изотропной турбулентности, – те трудности, которые встречаются при проверке полученных результатов.
Прежде чем перейти к формулированию конкретных тестовых задач в изотропной турбулентности, рассмотрим сначала более типичную повседневную ситуацию, которую представляет собой течение в трубе. В принципе было бы желательно решить замкнутую форму уравнений Рейнольдса для средней скорости с граничными условиями равенства нулю скорости на стенке трубы. Поскольку течение в трубе возможно только при наличии градиента давления, то, естественно, надо задать еще и градиент давления. Для простоты возьмем его постоянным во времени, так что течение само по себе будет независимым от времени. Ввиду этого оно очень легко осуществимо на практике. Для полноты описания мы можем задать распределение средней скорости на входе в трубу. В качестве простого предположения можно взять равномерное по сечению распределение скорости на входе. Это также физически реализуемо, по крайней мере, с достаточно хорошей точностью, если предположить, что труба соединена с резервуаром большой емкости, хотя проще, и это обычно делается, проигнорировать «длину входа» и начать вычисления на некотором расстоянии вниз по течению, где среднее распределение скорости уже не будет зависеть от начальных условий (т. е. будет универсальным).
Существенным в этой постановке задачи является то, что классическая постановка описания одномерного течения в трубе может быть сформулирована очень просто и непосредственно. К тому же предсказания теории – средний профиль скорости в зависимости от градиента давления – могут быть проверены экспериментально совершенно непротиворечивым и строгим образом. И эта постановка годится для многих практически важных течений, кроме изотропной турбулентности, где наинизшим статистическим моментом является энергетический спектр, измерить который и проинтерпретировать существенно сложнее, чем профиль средней скорости.
Рассмотрим баланс энергии для изотропной турбулентности, определяемый уравнением (121), где член инерционной передачи энергии T(k, t) связан с нелинейной частью уравнения Навье–Стокса с помощью соотношений (122) и (101). Формально проблему замыкания в теории турбулентности можно рассматривать как необходимость в определении связи между T(k, t) и энергетическим спектром E(k, t). Предположим, что мы имеем такую зависимость. Тогда можно заметить, что уравнение (121) является уравнением первого порядка относительно времени, для решения которой необходимо задание начальных условий. То есть нам надо проинтегрировать уравнение (121) по времени вперед при заданном начальном энергетическом спектре
, (133)
где e(k) – некоторая функция, определяющая начальные значения полной энергии и скорости диссипации на единицу массы жидкости. Однако, отвлекаясь от обсуждения, заметим, что важная черта функции e(k) состоит в том, что она совершенно произвольна. Это подчеркивает отличие проблемы изотропной турбулентности от течения в трубе. Поэтому мы вынуждены полагаться на то, что с течением времени поведение системы приобретает некоторую универсальность. Другими словами, мы предполагаем, что турбулентность, будучи возбуждена некоторым произвольным способом в момент времени t = 0, забывает о своем начальном состоянии с течением времени в тот момент, когда генерация вихрей обусловлена всецело нелинейными взаимодействиями. Эти взаимодействия являются общими для всех ситуаций, будучи внутренним свойством исходных уравнений, поэтому можно ожидать, что поведение системы будет универсальным.
На практике наблюдается именно эта ситуация: автомодельное поведение наблюдается экспериментально. Мы не будем здесь вдаваться в подробности, а только отметим, что подробное обсуждение этих вопросов можно найти в работах Бэтчелора (1971), Хинце (1975) и Монина и Яглома (1975), в том числе и случай решеточной турбулентности.
Однако с нашей точки зрения действительная важность состоит не только в том, что решеточная турбулентность является изотропной, но и в том, что она содержит в себе рассмотренные выше свойства независимо от того, как она была создана (т. е. каждый может построить свою собственную решетку с некоторыми уникальными параметрами), иначе говоря, эволюционирует к состоянию, которое не зависит от выбора начальных условий.
Мы уже отмечали, что очень легко сформулировать задачу о стационарной турбулентности для случая течения в трубе. Более того, экспериментальная реализация стационарных условий является простой задачей, что верно и для ряда других практически важных течений. Но это не так в случае изотропной турбулентности, если не считать приближенного локального поведения в течениях, занимающих большой пространственный объем, сравнимый с атмосферой земли или океаном. Можно, конечно, надеяться на то, что компьютерное моделирование достигнет этого со временем. Но в настоящее время оценка стационарных параметров турбулентности достигается не без трудностей. Мы коснемся этого далее, но сначала рассмотрим теоретическую формулировку задачи.
Образование стационарного изотропного турбулентного поля требует некоторого подвода энергии, компенсирующего потери вследствие вязкой диссипации. Поэтому естественно ввести понятие взбалтывающей силы, случайной по природе, которая создает случайное поле скорости в процессе воздействия на жидкость. Этот шаг оказывается весьма содержательным. Смысл взбалтывающей силы состоит главным образом в определении турбулентного ансамбля. Но для наших целей будет достаточно заметить, что выбор этот надо осуществлять весьма осторожно, так чтобы получить в итоге турбулентное поле, которое является характеристикой уравнений Навье–Стокса, а не произвольного начального состояния.
Рассмотрим уравнение движения, дополненное случайной силой с компонентами fa(k, t). Уравнение (91) тогда можно записать
, (134)
где для удовлетворения условию дивергентности поля скорости взбалтывающая сила должна удовлетворять условию, обобщающему соотношение (88)
. (135)
Заметим также, что взбалтывающая сила (как и другие члены в (134)) должна в действительности быть силой на единицу массы и поэтому иметь размерность ускорения. Тем не менее, мы будем, помня это условие, ссылаться на нее как на силу. Можно использовать уравнение (134) для того, чтобы получить уравнения баланса энергии, как и выше. Для этого умножим каждый член на ua(–k, t) и усредним. Затем просуммируем по a, умножим на 2 p k2 и, используя выражение (107) для энергетического спектра, получим
, (136)
которое отличается от (121) только наличием члена накачки в правой части уравнения. Для того чтобы выразить его в явном виде, надо определить природу случайной взбалтывающей силы. Можно решить эту задачу, взяв за пример броуновское движение. Предположим, что распределение вероятности этой силы является нормальным (или гауссовым) с автокорреляцией, подчиняющейся условию
, (137)
где Dab(k) определено соотношением (101), а функция w(k, t – t¢) должна быть определена дополнительно. Заметим, что форма правой части (137) выбрана таким образом, чтобы корреляционная функция силы была однородна, изотропна и стационарна. По аналогии с броуновским движением выберем случайную взбалтывающую силу некоррелированной по времени. Это означает, что функция w(k, t – t¢) должна иметь дельтаобразный вид вблизи t = t¢:
. (138)
Это предположение полезно тем, что даже если в начальный момент корреляция по времени отсутствует, то вследствие нелинейного взаимодействия в соответствии с уравнением Навье–Стокса она появится. Для того чтобы задать W(k), мы должны вычислить последний член в правой части уравнения (136). Рассмотрим очень простое объяснение этой операции. Предположим, что отклик системы для малых интервалов
|t – t¢| определяется функцией Грина g(k, t – t¢)
(139)
где g обладает свойством ágñ = g, а также
(140)
Первое из условий (140) указывает на то, что причина не может предшествовать следствию, а второе условие отражает тот факт, что мгновенное изменение скорости по времени определяется только интегралом от ускорения. Это свойство определяется фактически только функцией g со свойствами, в которых мы нуждаемся, поэтому подставляя (139) для ua(–k, t), можно записать член накачки (136) как
(141)
где мы использовали соотношение (137) для автокорреляции вместе с соотношением Tr(Dab(k)) = 2. С учетом уравнения (141) уравнение баланса энергии (136) примет вид
(142)
Стационарное состояние достигается тогда, когда член накачки (который выражает скорость, с которой случайная сила совершает работу над жидкостью) в точности тот же, что и скорость диссипации энергии за счет вязкости. В этих условиях производная по времени обращается в ноль, кроме того, представляет большой интерес проинтегрировать оставшиеся члены по всем . Требуя в соответствии с (131), чтобы интеграл от T(k, t) по всем k был равен нулю, что соответствует консервативности нелинейных членов, получим
, (143)
где последний шаг следует из уравнения (124). Таким образом, в условиях стационарности автокорреляция случайной силы может быть выражена через скорость диссипации энергии.
Обычная интерпретация уравнения (142) сводится к тому, что энергия системы, содержащаяся в малых k (большие масштабы), преобразуется с помощью нелинейного члена T(k, t) в большие k (малые масштабы), где она поглощается вязкими членами. Очевидно, что нелинейный член, который представляет коллективное воздействие всех мод на моду с волновым вектором k, является необычайно сложным. Однако вопреки этому общим эффектом от него является энергетический каскад, который позволяет сформулировать замечательно простую картину.
Прежде чем обсуждать процесс инерциального переноса, рассмотрим сначала область волновых чисел, представляющих интерес с этой точки зрения. В случае нижней границы это очень просто. Наибольшие возможные вихри ограничены размером системы, поэтому наименьшие волновые числа определяются соотношением
, (144)
где L – наибольший эффективный линейный размер турбулентной системы. Можно ожидать, что величина обрезания волновых чисел сверху определяется вязкой диссипацией. Единственные параметры, определяющие этот эффект, – кинематическая вязкость n и скорость диссипации энергии e, поэтому из соображений размерности можно ввести характеристический масштаб длины
, (145)
и (для удобства в проведении дальнейших выкладок) соответствующий масштаб скорости
. (146)
Величина, обратная выражению (145), принимается в качестве приближенной меры максимально возможного волнового числа. Назовем ее kd
. (147)
Интересно отметить, что если мы определим локальное (по волновому числу) число Рейнольдса на основе выше определенного масштаба, то получим
. (148)
Это говорит о том, что вязкие и инерциальные процессы имеют один порядок величины при k ~ kd.
Важно отметить, что наименьшие волновые числа определяются характером и размерами конкретной турбулентной системы, в то время как наибольшие – общими свойствами, описываемыми величинами n и e. Таким образом, отношение kd к kmin можно сделать как угодно большим, в пределе бесконечных чисел Рейнольдса – бесконечно большим. Теперь отметим следующее: из экспериментов [Тейлор, 1938] известно, что энергия определяется наименьшими волновыми числами, в то время как диссипация – наибольшими, и что даже при умеренных значениях числа Рейнольдса эти две области волновых чисел не перекрываются. Таким образом, отсюда следует, что инерционный член (который связывает эти две области) можно сделать доминирующим в сколь угодно большой области волновых чисел за счет увеличения числа Рейнольдса (см. (147)), т. е. уменьшения величины наименьшего (диссипативного) волнового числа. Этот факт является решающим для описания физики турбулентности, так как он позволяет нам рассматривать инерционный перенос энергии, не беспокоясь о деталях накачки (при малых k) или диссипации (при больших k).
Мы начнем обсуждение нелинейного инерциального переноса с рассмотрения уравнения (91), которое является уравнением Навье–Стокса для Фурье-компонент поля скорости. В этом уравнении нелинейный член легко интерпретировать следующим образом. Два коэффициента в разложении Фурье поля скорости с различными волновыми числами j и l = |k – j| связаны вместе таким образом, чтобы было влияние на коэффициент разложения с волновым числом k. Полный вклад нелинейных членов определяется суммой по всем таким взаимодействиям. Эта объединение волновых векторов в триады обычно называется «условием треугольника» и является примером явления, известного в других областях физики (например, в электронике) как нелинейное смешение.
Коллективная природа нелинейности ясна. В принципе каждая Фурье-мода поля скорости связана со всеми другими модами, поэтому мы оказываемся перед очень сложной физической задачей. В этих условиях естественно искать некоторые упрощающие предположения, которые будут полезны, если сумма по всем модам будет ограничена некоторым ограниченным множеством волновых векторов, которое является характерным для этой нелинейности. То есть нам хотелось бы доказать, что удаленные гармоники слабо связаны и что некоторая мода k будет эффективно связана с модами j и l, такими, что моды k, j и l имеют один порядок величины. Другими словами, проводя аналогию, скажем, со спинами на решетке, нам хотелось бы ограничить сумму только модами, являющимися ближайшими соседями.
Физические основы для такого предположения можно обнаружить, рассматривая действие нелинейности в конфигурационном пространстве. Взаимодействие двух вихрей можно разложить (а) на конвективный перенос одного вихря полем скорости другого и (б) на разрушение одного вихря другим. Первый из названных эффектов приводит только к сдвигу фаз соответствующих Фурье-коэффициентов и с точки зрения динамики несуществен. Второй эффект приводит к инерциальной деформации вихрей с передачей энергии к малым масштабам. Если взаимодействующие вихри сильно отличаются по размерам, то с физической точки зрения весьма вероятно, что несущественное изменение фазы является основным эффектом. Отсюда один шаг до утверждения о том, что нелинейное взаимодействие до некоторой степени локально в пространстве волновых чисел.
Теперь, возвращаясь к уравнению энергии, мы можем интерпретировать нелинейный член потока энергии между модами с помощью усредненного по многим модам взаимодействия рассмотренного выше типа. Объединение идеи локальности основных взаимодействий с идеей осреднения приводит к важному выводу о том, что после ряда подобных шагов энергетический каскад становится независящим от способа создания турбулентности. Поэтому энергетический спектр в области больших волновых чисел принимает универсальный вид.
Эти идеи впервые были сформулированы Колмогоровым в двух знаменитых гипотезах [Колмогоров, 1941 а, б]. Гипотезы Колмогорова являются принципами подобия для энергетического спектра и могут быть выражены следующим образом.
Во-первых, при достаточно больших волновых числах спектр может зависеть только от вязкости жидкости, скорости диссипации и собственно волнового числа. Поэтому, из соображений размерности, энергетический спектр может быть представлен в виде
, (149)
где второе выражение следует из (146) и (147), f – неизвестная функция универсального вида, а диссипативная длина определена соотношением (145).
Второй принцип подобия состоит в том, что величина E(k) не должна зависеть от вязкости, когда число Рейнольдса стремится к бесконечности. Легко видеть, что это приводит к тому, чтобы неизвестная функция имела вид
, (150)
где a – постоянная.
Следовательно, после подстановки формулы (150) для функции f(kh) уравнение (148) запишется
(151)
в пределе бесконечного числа Рейнольдса. Полученное распределение называется колмогоровским, а константа a называется константой Колмогорова. В теоретических работах часто используется спектральная функция q(k) вместо E(k). Из соображений удобства воспользуемся соотношением (107) , при этом получим для q(k):
. (152)
Для больших, но конечных чисел Рейнольдса можно постулировать существование инерционной подобласти волновых чисел, таких, что
,
в которой спектр, задаваемый формулой (151), не зависит от вязкости. При этом можно переписать соотношение (150) в виде
, (153)
где F – другая универсальная функция, удовлетворяющая условию F(0) = 1, в результате чего формулу (149) можно записать в виде
(154)
для 2p/L << k, которая асимптотически стремится к выражению (151) в инерционной подобласти волновых чисел. Для функции нет общепринятого выражения, но, как мы увидим позже, экспериментальные данные подтверждают экспоненциальный закон.
Теперь отметим следующее. Различные доводы и гипотезы, представленные в этом пункте, относятся не только к математической идеализации изотропной турбулентности. Действительно, обычно утверждается, что, поскольку каскад предшествует очень маленьким масштабам, преобразование флуктуаций скорости в флуктуации давления (и наоборот) будет приводить к выделению предпочтительного направления, которое затем сглаживается. Таким образом, при условии, что рассматриваемые вихри малы по сравнению с некоторой пространственной неоднородностью течения, можно мыслить себе «локальную изотропию». В этих условиях (которые опять приводят к тому, чтобы число Рейнольдса было достаточно велико) можно ожидать, что колмогоровский спектр применим также и к сдвиговым течениям.
Было сделано много попыток вывести замкнутую форму уравнений для энергетического спектра. Ситуация фактически очень похожа на ту, что была описана в ранее в связи с уравнениями для одноточечных моментов с аналогичным разнообразием используемых ad hoc методов. Как и в том случае, понятие об эффективной (или турбулентной) вязкости оказалось очень популярным. Мы обсудим метод эффективной вязкости Гейзенберга [1948 a, b] в качестве представительного примера.
Начнем с того, что перепишем уравнение (121) для энергетического спектра в виде
(155)
где подробная структура выражения S(k, j, |k – j|) может быть получена из выражения (122), хотя здесь нам нужно только знать, что оно антисимметрично относительно перестановки символов k и j. Простейший способ замыкания этого уравнения состоит в том, что T пропорционально E.
Можно привести некоторые оправдание в пользу принятого предположения. Проинтегрируем каждый член уравнения для спектра до некоторого произвольного волнового числа k¢, тогда
,
(156)
где интеграл от S по области 0 £ k, j £ k¢ исчезает (см., например, уравнение (131)). После этого влияние нелинейного члена в рассмотренном выше уравнении можно проинтерпретировать как перетекание энергии от мод k £ k¢ за счет инерциальной передачи к волновым числам k ³ k¢. В соответствии с этим, если мы хотим смоделировать процесс перетекания энергии по аналогии с вязкой диссипацией, введем эффективную турбулентную вязкость с помощью предположения о том, что передача энергии может быть записана следующим образом:
, (157)
где n(k¢, t) – кинематическая вихревая вязкость, которая представляет результат интегрирования по волновым числам от k¢ до бесконечности. Это значит, что мы ищем выражение для вихревой вязкости, которое содержит такой интеграл. Поэтому напишем
, (158)
где неизвестная функция может быть определена с помощью анализа размерности
, (159)
где A = const. Следовательно, вихревая вязкость по Гейзенбергу определяется выражением
. (160)
Эти уравнения были решены только для стационарного случая (см. [Бэтчелор, 1971]). Отметим только что результирующий спектр сводится к колмогоровскому закону «–5/3» в инерциальной области волновых чисел, но ведет себя как k–7 в диссипативной области. Как известно, этот последний закон поведения неправилен, так как экспериментальные результаты показывают, что энергетический спектр при больших волновых числах спадает экспоненциально, т. е. быстрее любой степени.
Рассмотрим снова уравнение (121) для энергетического спектра, но на этот раз будем интересоваться детальной структурой правой части уравнения и иерархией моментов, которая (в принципе) определяет T(k, t). Из уравнения (122) мы видим, что T(k, t) может быть выражена через тройную корреляцию, которая в свою очередь может быть определена из уравнения (120) через момент четвертого порядка. То есть если мы коротко запишем правую часть (120) в виде
, (161)
то формально можно записать решение уравнения (120) в виде
.
(162)
На этом этапе мы вводим гипотезу о квазинормальности [Прудман и Рид, 1954], [Тацуми, 1957], которая утверждает, что все моменты четного порядка связаны так же, как и для нормального распределения.
Заметим, что предположение о квазинорамальности значительно более слабое утверждение, чем утверждение о нормальности поля скорости, которое нефизично, поскольку не согласуется с существованием тройной корреляции, которая, как мы видели, ответственна за передачу турбулентной энергии. Напротив, предположение о квазинормальности очень хорошо подтверждается экспериментально [Френкель, Клебанов, 1967], [Ван Атта, Чен, 1969], [Ван Атта, Чен, 1970], [Френкель, Клебанов, 1973], так как наблюдается именно эта связь между корреляциями четного порядка, если пренебречь небольшим разбросом измеряемых результатов.
Гипотеза квазинормальности использована для замыкания иерархии уравнений, так как позволяет выразить моменты четвертого порядка в правой части уравнения (120) через произведение моментов второго порядка. Если мы обозначим момент четвертого порядка через á1, 2, 3, 4ñ, то для нормального распределения получим
.
Применение этого соотношения к каждому из моментов четвертого порядка в правой части уравнения (120) приводит к появлению девяти таких произведений моментов второго порядка – степень алгебраической сложности, которая может показаться слишком большой. Однако на практике, наоборот, это обстоятельство не является таким уж плохим, как может показаться на первый взгляд. Не трудно видеть, что три таких члена обращаются тождественно в ноль. А из шести оставшихся два члена можно объединить в один, как в конечном счете и четыре других, оставляя только два члена в конце вычислений. Начать можно с первого члена в правой части (120):
(163)
Если мы факторизуем квадрупольный момент в соответствии с нашими гипотезами, то получим
(164)
Теперь воспользуемся условием однородности для моментов второго порядка (см. соотношение (98)):
· · В первом произведении из условия однородности j – k – j = 0 следует k = 0. Но Mabg(k) = 0 для k = 0, поэтому этот член равен нулю.
· · Во втором произведении условие однородности имеет вид k + l + p = 0.
· · В третьем k + l + p = 0.
Следовательно, суммируя по j (т. е. заменяя j на –l во втором произведении и на –p в третьем), пользуясь соотношением (100) для тензора парных корреляций и условием симметрии оператора инерционной передачи относительно перестановки последних двух индексов, мы преобразуем предыдущее выражение первого члена в правой части уравнения (163) к виду
.
Можно применить тот же метод к другим моментам четвертого порядка, при этом из (163) получим
(165)
Теперь можно получить замкнутую форму для T(k, t). Однако сначала мы заметим, вспоминая (122), что нам нужно знать Qbga(j, k – j, –k, t) и, следовательно, Hbga(j, k – j, –k, t). Делая перестановки, аналогичные (165), получим
(166)
На этой стадии ограничимся изотропным случаем, т. е. воспользуемся уравнением (102) для того, чтобы выразить спектральный тензор через операторы проектирования и скалярную спектральную плотность Q(k, t). В соответствии с этим, выражая рассмотренное выше соотношение в изотропном виде и подставляя в (122), можно T(k, t) переписать в виде
(167)
Это выражение можно упростить еще, замечая, что при интегрировании по j переменная k – j может быть заменена на j. Так в последнем члене уравнения (167) мы можем заменить k – j на j. Алгебраические подробности можно найти в [МакКомб, 1990], где показано, что (167) сравнительно просто приводится к
(168)
где
(169)
а m – косинус угла между векторами k и j. Формально уравнение (121) дает замкнутое уравнение для энергетического спектра, если в него подставить выражение (168) для T(k, t). Однако для того чтобы быть последовательными и подтвердить то, что получается обычно на практике, мы будем работать в терминах спектральной плотности Q(k, t). Поэтому подставим (168) в (121), разделим обе стороны на 4pk2 и, используя обобщение уравнения (107) для введения спектральной плотности в левой части уравнения, получим замкнутое приближение, основанное на гипотезе квазинормальности:
(170)
Если положить, что Q(k, t) задано при t = 0, уравнение (170) можно проинтегрировать по времени для случая свободно затухающей турбулентности. К сожалению, вопреки очевидной обоснованности природы основных предположений, при численном решении (170) ([О’Брайен, Френсис, 1962], [Огура, 1963], критический обзор [Орзаг, 1970]) было получено, что Q(k, t) становится отрицательной при некоторых значениях волнового числа k. Конечно, не видно причин, почему бы приближенной теории не нарушать в некоторой малой степени применимость начальных предположений. Но проблема квазинормальности состоит в том, что полученный эффект не является малым.
Это рассмотрение квазинормальности представляет не только исторический интерес. При выводе уравнения (170) мы воспользовались алгебраическими выкладками, которые многие исследователи считают слишком пугающими, при столкновении с современными аппроксимациями в проблеме замыкания. Таким образом, результат будет полезным в дальнейшем изложении.
Ранее мы ввели одномерный спектр E11(k1), который определен на интервале –¥ £ k1 £ ¥ и связан со среднеквадратичной скоростью соотношением (112). На практике экспериментатор часто использует функцию F(k1), которая определена на интервале 0£ k1 £ ¥ и удовлетворяет условию
. (171)
Очевидно, что F(k1) равна удвоенной E11(k1), но ради простоты будем следовать практике экспериментаторов при представлении результатов.
Рис. 7. Измеренные одномерные спектры для широкого диапазона
чисел Рейнольдса и физических ситуаций: – Стюарт и Таунсенд (1951), – Уберой и Фреймут (1969), – Комте-Беллот и Коррзин (1971), – Чампэйн, Харрис, Коррзин (1970), ► – Лауфер (1954),
ì – Уберой и Фреймут (1969), – Коантиц и Фавр (1974),
ö – Грант и др. (1962)
На рис. 7 представлены экспериментальные данные для F(k1), полученные из многих отличающихся друг от друга экспериментальных ситуаций: от лабораторных исследований в аэродинамических трубах до классических морских исследований Гранта и др. (1962) в каналах с приливом и отливом. Поскольку физические источники данных столь различны (а мы интересовались только мелкомасштабной структурой), то каждая совокупность данных характеризовалась числом Рейнольдса Rl, определяемого по микромасштабу Тейлора:
, (172)
где u – среднеквадратичная скорость, n – кинематическая вязкость, а микромасштаб Тейлора определен соотношением (79). Можно видеть, что спектры построены в переменных Колмогорова, определенных формулами (146) и (147) и построены относительно безразмерной переменной k/kd.
Ясно, что спектры при больших волновых числах сходятся к универсальной кривой, подтверждая тем самым первую гипотезу Колмогорова о подобии, которая подытожена соотношением (149). С ростом числа Рейнольдса также видно, что спектры демонстрируют увеличение области (по волновым числам) универсального поведения с тенденцией асимптотического отхода от закона k–5/3 (предсказанного во второй гипотезе подобия Колмогорова: см. (149)) при малых волновых числах. Таким же образом можно отметить, что постоянная асимптота каждого спектра при малых волновых числах – это в чистом виде артефакт, возникающий как следствие одномерности спектра, который является неполным отображением трехмерного спектра. С точки зрения физики это означает, что часть F(k1), относящаяся к малым k, подвержена сильному влиянию выравнивания от больших волновых чисел, движущихся под углом к оси x1 (см. [Теннекес, Ламли, 1972]).
Константа пропорциональности a в спектре Колмогорова долгое время была целью теоретических предсказаний, поэтому ее экспериментальная величина так важна. Для начала заметим [Бэтчелор, 1971], что из колмогоровского спектра следует
. (173)
Требуя, чтобы F(k1) равнялось удвоенному E11(k1), убеждаемся, что измерение спектральной функции
(174)
показывает, что константа (151) определяется соотношением
. (175)
Результаты Гранта и др. (1962), которые можно рассматривать как наиболее надежные, дают a1 = 0,47 ± 0,02. Следовательно, a = 1,44 ± 0,06. Другие исследования дают несколько отличный результат, но все исследователи в этой области утверждают, что величина этой постоянной находится вблизи 1.5.
Однако это согласие не является единодушным. Кречнан (1966) показал, что постоянная зависит о того, где выбирается граница между инерционной и диссипативной областями. Обычно она определяется соотношением k = 0,1 kd, но, как видно на рис. 7, это иногда трудно сделать достаточно аккуратно. Очевидно, мы можем сделать это с аналитическим видом, который можно хорошо подобрать в обеих областях волновых чисел. Были предложены различные модели и связи для достижения этой цели. Вероятно, наиболее известная из них – это аппроксимация Пао (1965).
Существенно, что аргументы Пао заключались в том, что скорость, с которой энергия передается в пространстве волновых чисел, имеет ту же зависимость от вязкости, что и энергетический спектр. Так отношение этих двух величин не зависит от вязкости: это верно в инерционной области (в колмогоровском представлении) и, следовательно, в этой области получается закон Колмогорова «–5/3». Если эту гипотезу распространить на область диссипации, то получим, что выражение (154) перейдет в
, (176)
которое, как показывает рис. 7, очень хорошо согласуется с экспериментом. Это основное предположение в работе Пао оказалось совершенно не оценено и не представлено здесь в качестве спектральной теории (хотя были сделаны попытки ее усовершенствовать [Пао, 1968], [Теннекес, 1968], [Лин, 1972] или распространить ее на малые волновые числа [Дрискол, Кеннеди, 1983]). Существенно, что это оказался хороший путь анализа экспериментальных результатов. А с нашей точки зрения наиболее заслуживает внимания в этом анализе способ, с помощью которого он привлекает внимание к тому факту, что величина a, большая 2,2 (или возможно еще больше), не совместима с данными: см., в частности, [Гибсон и др., 1970].