Перенормировочная теория возмущений
В этом пункте мы будем обращаться с проблемой замыкания моментов в теории турбулентности очень специфично. Начнем с общего формализма, часто называемого «лямбда-разложением», а затем продолжим рассмотрение конкретных теорий. Эти теории разделены на два класса. Сначала рассмотрим теории, которые несовместимы с колмогоровским распределением энергии по волновым числам, а затем те, которые совместимы.
Начать можно с того, что методы, которые мы обсуждаем, впервые появились в теории многих тел статистической физики. Для того чтобы дать представление об общем методе, рассмотрим случай реального газа, который лишь слегка неидеален. Очевидно, существует искушение представить это как возмущение идеального газа, в котором составляющие его частицы не взаимодействуют друг с другом. В микроскопической физике основной величиной, позволяющей нам вычислить статистическую сумму, является гамильтониан. Из статистической суммы находятся макроскопические свойства системы. Для идеального газа гамильтониан может быть записан как в виде суммы гамильтонианов отдельных частиц, т. е.
, (177)
где Hi – гамильтониан отдельной частицы, а суммирование проводится по N частицам, составляющим систему.
Теперь предположим, что реальный газ имеет гамильтониан, который может быть записан в виде
, (178)
где первый член есть сумма индивидуальных кинетических энергий частиц, а второй – потенциал двухчастичного взаимодействия (кулоновский или леннард-джонсоновский). В этом случае общая стратегия в теории многих тел состоит в попытке заменить взаимодействующие частицы на представительные квазичастицы, которые уже не взаимодействуют и могут быть описаны одночастичными гамильтонианами:
(179)
Проблема теперь состоит в том, чтобы определить квазичастицы, для чего существует много эвристических методов, каждый из которых приспособлен к конкретной физической проблеме. Например, в случае колебаний решетки можно заметить, что переход от функции (178) к функции (179) равносилен диагонализации гамильтониана, в соответствии с чем удобно работать в терминах нормальных мод. Однако в общем случае существует только один метод, который является развитием теории возмущений и иногда называется l-разложением.
Перепишем уравнение для гамильтониана реального газа, введя параметр l:
(180)
с целью отметить порядок членов в разложении, который полагается равным 1 в конце вычислений. Другими словами, l играет роль параметра разложения в теории возмущений. Но поскольку он не мал, он не является критерием для обрыва ряда в каком-то конкретном порядке.
Тем не менее, продолжая этот пример из микроскопической физики, следующий шаг – это выражение для конфигурационной части статистической суммы
. (181)
Экспонента разлагается в ряд по степеням l, которая полагается в конце вычислений равной единице. Практическая трудность вычисления коэффициентов разложения связана с природой потенциала взаимодействия. Но общая стратегия состоит в том, чтобы изучить и классифицировать члены в каждом порядке – часто с помощью графиков или диаграмм для упрощения выявления топологических свойств – и найти способ суммирования членов некоторого вида во всех порядках по l. Получение таких частичных сумм часто сопровождается введением эффективных масс или эффективных зарядов. Подобные подходы могут быть использованы и в турбулентности, но здесь перенормированная величина – это эффективная вязкость.
Турбулентность не является гамильтоновой системой, хотя можно сформулировать задачу с помощью лиувиллиана, чтобы подчеркнуть сходство с микроскопическими теориями, рассмотренными выше. Однако обычно работают непосредственно с уравнениями Навье–Стокса, с моментами поля скорости, что мы и будем делать далее.
Рассмотрим уравнения Навье–Стокса в форме (134), но теперь введем параметр l в нелинейный член
(182)
Мы напоминаем, что параметр l равен единице и используется только для упорядочения членов разложения. Сам по себе этот параметр не может быть использован для оправдания обрывания ряда. В соответствии с этим (182) в точности совпадает уравнением (134).
Это уравнение содержит силу, которая определена так же, как и ранее. Мы требуем, чтобы взбалтывающая сила удовлетворяла условию (135) и имела гауссовское распределение вероятности, автокорреляция которого задается соотношением (137). Во всем остальном она произвольна. Формулировка проблемы турбулентности основана на предположении о том, что нелинейное взаимодействие, индуцированное уравнением (182), будет приводить к универсальному турбулентному полю скорости независимо от природы взбалтывающей силы. Однако существо проблемы турбулентности в том, что результирующее поле скорости при этом оказывается заметно негауссовским.
Это обстоятельство создает сложности в теории турбулентности. Для того чтобы решить проблему замыкания, нужно получить соотношения между моментами разных порядков. Но, к сожалению, это можно сделать только для нормального (гауссовского) распределения. Мы уже видели, что гипотеза квазинормальности, которая предполагает связь между моментами четвертого и второго порядков, не работает. Очевидно, надо соблюдать осторожность относительно способа, с помощью которого турбулентное поле можно рассматривать как возмущение нормального процесса. Конкретный путь реализации этих представлений отличает одну теорию турбулентности от другой. Можно обеспечить условия, в которых легко обсуждать различные подходы, если изложить сначала некоторый общий формализм. Мы сделаем это следующим образом.
Рассмотрим уравнения Навье–Стокса при l = 0, т. е. мы проводим мысленный эксперимент, в котором жидкость приводится в движение взбалтывающей силой, но нелинейные члены отключены. В этих условиях отклик жидкости определяется кинематической вязкостью, так что решение (182) можно записать в виде
, (183)
где верхний индекс «0» указывает на то, что поле скорости является решением уравнений Навье–Стокса при l = 0.
Желая свести математические сложности к минимуму, рассмотрим основную идею, которая заключается во введении очень простой формы записи. Представим (183) в виде
, (184)
где G(0) – функция Грина exp{–n0 k2 (t – t¢)}. Здесь и далее мы будем использовать целые числа для того, чтобы отличать поля.
Из последнего уравнения, а также из определения взбалтывающей силы следует, что поле u(0) имеет нормальное распределение, поэтому его моменты удовлетворяют ряду соотношений. Во-первых, все нечетные моменты равны нулю:
. (185)
Теперь если скомбинировать свойство однородности с факторизацией гауссовских моментов четного порядка, то получим
, (186)
(187)
где целые числа 1, 2, ..., n соответствуют волновым числам k1, k2, …, kn, а Q(0) – очевидное обобщение записи момента второго порядка (или спектральной плотности) для поля нулевого приближения.
Мы можем завершить наш мысленный эксперимент включением нелинейных членов, скажем при t = –¥. Влияние нелинейных членов выражается, благодаря нелинейному перемешиванию, в том, что все моды нулевого приближения оказываются связанными в результирующем поле u(k). И, конечно же, u(k) сильно отличается от гауссовского распределения.
Можно выразить это математически, выписав выражение для результирующего поля с помощью ряда теории возмущений:
(188)
В этом разложении только результирующее поле и поле нулевого приближения имеют ясный физический смысл. Другие члены u(1), u(2), … являются членами высшего порядка и могут быть выражены итеративно с помощью поля нулевого приближения. Они могут быть вычислены подстановкой выражения (188) в уравнение (182) и приравниванием членов одного порядка по l. В результате:
(189)
(190)
(191)
и так далее.
Если подставить эти члены обратно в уравнение (188), то можно проинтерпретировать разложение на основе порядка сложности связи мод. С точки зрения наших предварительных замечаний относительно проблем описания на микроуровне систем типа неидеального газа интересно отметить, что имеется сходство между написанным выше разложением и, скажем, кластерным вириальным разложением. Однако, с нашей точки зрения, уравнение (188) с учетом (189) – (191) и остальных порядков дает общее выражение для точного (негауссового) поля скорости с помощью гауссового поля нулевого приближения.
Можно подчеркнуть этот аспект, записывая выражение для моментов второго порядка. В нашей скелетной системе записи Q(k) = áu(k) u(–k)ñ, поэтому, подставляя выражения из предыдущего уравнения и выполняя усреднение, получим
. (192)
Это наша общая форма для точных моментов второго порядка (спектральной плотности), выраженных чрез моменты нулевого приближения. Если бы l было малым, то можно было бы оборвать правую часть (192) на некоторых подходящих членах, как делается в обычной теории возмущений. Однако на некоторой стадии следует положить l = 1, и в этих условиях может не быть оправдания для обрывания ряда на членах низкого порядка. Если мы и знаем что-либо об этом ряде, так это то, что он в высшей степени расходящийся. В следующем пункте рассмотрим способ, с помощью которого может быть достигнута перенормировка.
В этом пункте техника перегруппировки и частичного суммирования, используемые в l-разложении в микроскопической физике, применена к ряду теории возмущений в уравнениях Навье–Стокса. Впервые это было сделано Уайлдом (1961), который предложил анализ скалярного аналога этих уравнений, который позже был обобщен Ли (1965) на трехмерные уравнения Навье–Стокса, а также на уравнения магнитной гидродинамики. Дадим здесь лишь некоторое представление об этой технике, полное описание которой наряду с обоснованием некоторых аспектов можно найти в различных изданиях [МакКомб, 1990]. Однако краткое изложение предпочтительно, по сравнению с длинным перечислением ограничений, если мы хотим увидеть, как возникают перенормированные величины в самом общем виде.
Начнем со смены терминологии. Будем называть Q(0) и G(0) корреляцией и пропагатором в нулевом порядке соответственно. Оправдание названия последней величины связано с тем, что функция Грина дает зависимость от времени для поля скорости в отсутствие нелинейных эффектов, а также отклик на внешнюю силу в соответствии с уравнением (183). Очевидно, мы хотим определить точные (перенормированные) корреляцию и пропагатор. Способ, которым это будет сделано, принадлежит больше к топологии, чем к физике.
Если мы рассмотрим ряд теории возмущений для поля скорости (188) с учетом соотношений (189) – (191), то, как мы уже замечали, он может быть интерпретирован с точки зрения разложения по сложности членов. Очевидно, что это – топологическое свойство, поэтому введем диаграммное представление разложения для прояснения топологического аспекта. Сделаем это, если установим соответствие между математическим выражением членов и элементами диаграмм следующим образом:
сплошная линия «u(0)
пунктирная линия «G(0) (193)
точка (вершина) «M .
Используя эти обозначения, можно записать ряд теории возмущений (188) в диаграммной форме, как показано на рис. 8.
Рис. 8. Диаграммы, соответствующие членам ряда
теории возмущений (188) для поля скорости
Хотя мы не отмечаем на диаграммах волновые числа, но следует заметить, что три элемента всегда встречаются в вершине, в которой всегда выполняются законы сохранения. Поэтому мы считаем, что волновое число слева от вершины равно сумме волновых чисел двух элементов справа.
Наш следующий шаг нацелен на то, чтобы из этих элементов получить диаграммное разложение для точной корреляции. Другими словами, нам хотелось бы иметь диаграммное разложение для точной корреляции Q, выраженное через элементы Q(0), G(0) и вершину M. Все, что нам нужно – это графический эквивалент факторизации моментов четного порядка в виде произведений парных корреляций.
На самом деле способ, которым мы это сделаем, очень прост. Расположим любые пары диаграмм ветвями друг к другу, а затем соединим все полностью независимые сплошные линии так, чтобы соединить две диаграммы всеми возможными способами и отметим, что две скорости связаны с помощью крестика, который помещается в точке соединения. Численный множитель получается умножением каждой диаграммы на число способов, с помощью которых соединение линий дает одну и ту же диаграмму. Этот процесс проиллюстрирован на рис. 9, где мы показали диаграммы нулевого порядка и два примера диаграмм второго порядка.
Таким способом можно написать полное разложение для точной парной корреляции до любого порядка по параметру итераций. Следующий шаг состоит в поиске путей суммирования этих членов во всех порядках. Следуя Уайлду, введем перенормированные диаграммные элементы следующим образом:
жирная сплошная линия «u точная скорость
жирная пунктирная линия «G перенормированный
пропагатор
кружок «о перенормированная
вершина.
Рис. 9. Примеры процедуры осреднения с полем нулевого порядка,
приводящей к диаграммам разложении Qab(k; w, w¢)
Отсюда следует, что в диаграммном обозначении точная парная корреляция – это две жирных сплошных линии, соединенных крестиком.
Тем не менее подчеркнем, что мы не пользуемся этими элементами в данном изложении. Мы вводим их только для того, чтобы объяснить основную идею. Будем снова следовать Уайлду, и разделим проблему на две части. Снова привлекаемые идеи являются топологическими, и основаны на классификации диаграмм на два типа: класс А и класс B. Поэтому с целью напоминания временно сохраним полные обозначения и запишем точную парную корреляцию в виде суммы отдельных вкладов от двух типов диаграмм, а именно:
, (195)
где w, w¢ – угловые частоты, связанные с помощью преобразования Фурье с временами t, t¢. Теперь мы рассмотрим по очереди два типа диаграмм.
Класс А диаграмм: перенормированный пропагатор
Класс А диаграмм определен как такие диаграммы, которые можно расщепить на две части, разрезая одну независимую Q(0) линию. Если мы взглянем на первую (нулевого порядка) диаграмму на рис. 9, то она как раз удовлетворяет определению диаграмм класса А. Ясно, что ее можно интерпретировать с помощью уравнения (184) следующим образом:
, (196)
где последний шаг следует из (137), а w – спектральная функция взбалтывающей силы.
Переходя ко второму порядку мы видим, что вторая диаграмма на рис. 9 не удовлетворяет критерию для диаграмм класса А, а третья – удовлетворяет. И хотя мы не показываем это, каждый легко может убедиться в том, что должно быть зеркальное отображение такой диаграммы, давая две диаграммы класса А во втором порядке. Первая из них (которая показана) может иметь свою Q(0) линию слева, представленную в виде произведения G(0)G(0)w, в то время как вторая такая диаграмма может иметь независимую Q(0) линию справа, факторизованную аналогичным образом. Таким образом, во втором порядке имеется две группы диаграмм класса А, в которых спектр взбалтывающей силы появляется вместе с G(0) то с одной стороны, то с другой. Если мы будем поступать таким образом с диаграммами класса А, то можем написать
, (197)
где G(k, w) – перенормированный пропагатор, равный сумме всех порядков соответствующим образом модифицированных диаграмм класса А.
В этом месте следует заметить для дальнейшего, что подход Уайлда не является самым общим. Фактически шаг, рассмотренный выше, эквивалентен утверждению, что точный пропагатор определен системой откликов на взбалтывающую силу.
Класс В диаграмм: перенормированый ряд теории возмущений
В класс В диаграмм входят все те диаграммы, которые не попадают в класс А. Вернемся опять к рис. 9. Первая из диаграмм второго порядка не может быть разделена на две части разрывом одной Q(0) линии и поэтому является примером диаграмм класса В, которых во втором порядке имеется только одна.
Теперь рассмотрим идеи, используемые при работе с диаграммами класса А. Мы уже отмечали, что некоторые диаграммы соединены подобно G(0) и, следовательно, являются пропагатороподобными, поэтому просуммируем их все для получения перенормированного пропагатора G. Из чисто топологических соображений следует, что можно перенормировать голую вершину, добавляя все диаграммы, соединенные подобно вершине.
Можно сформулировать общий алгоритм для этих процессов следующим образом:
1. 1. Выделим все диаграммы, которые не могут быть сведены к диаграммам низшего порядка заменой частей этих диаграмм.
2. 2. Назовем иx неприводимыми диаграммами.
3. 3. Заменим все голые элементы в неприводимых диаграммах на их перенормированную форму.
4. 4. Выпишем все эти модифицированные диаграммы по порядку, получив таким образом перенормированный ряд теории возмущений.
Для полноты картины покажем результаты подобной процедуры, проведенной до четвертого порядка на рис. 10, куда мы включили также диаграммы, полученные из диаграмм класса А ранее.
Рис.10. Диаграммы, соответствующие интегральному уравнению для Q(k; w, w¢)
В этом пункте рассмотрим те теории турбулентности, которые принадлежат к классу перенормируемых теорий второго порядка и которые не дают колмогоровский спектр в качестве решения при больших числах Рейнольдса. Большую часть места отведем исторически важным теориям, которые были призваны сыграть большую роль в рассматриваемой области исследования. Мы обратимся к приближению прямых взаимодействий DIA Кречнана (1958), к теории Эдвардса фоккер-планковского типа EFP (1964) и к теории самосогласованного поля Геринга (1965).
Методика DIA была развита в ряде статей, закончившихся общей формулировкой в 1958 году. Ключевым моментом этой теории было введение функции бесконечно малого отклика . Предположим, что взбалтывающая сила подвергнута флуктуации вида f ® f + df, вводящей таким образом соответствующую флуктуацию в поле скорости u ® u + du, тогда для малых df, du линеаризованный отклик системы можно записать как
, (198)
где – тензор бесконечно малого отклика.
Уравнение для можно получить линеаризацией уравнений Навье–Стокса для малой добавки. Очевидно, что будет флуктуировать от реализации к реализации, поэтому мы вводим средний по ансамблю отклик в виде , при этом, используя пространственную однородность, результат можно записать в диагонализированной форме:
. (199)
Здесь и далее мы следуем процедуре, описанной выше. Сначала делаем l-разложение, затем заменяем каждое выражение нулевого порядка для Q(0) и G(0) на ренормализованные Q и G соответственно, обрывая на втором порядке по l и полагая l = 1. Для изотропного случая результирующие уравнения для Q и G имеют вид:
(200)
(201)
Ранее мы встречали коэффициент L(k, j) в связи с теорией квазинормальности, определенный соотношением (169). Фактически это тот самый коэффициент, который появляется почти во всех перенормированных теориях второго порядка в изотропном случае.
Теория Кречнана DIA рассматривалась как большое продвижение вперед, как существование физически осмысленного модельного представления, так как при интегрировании по времени вперед она давала гарантированно положительный спектр, устраняющий катастрофу, связанную с гипотезой квазинормальности.
Кречнан показал, что уравнения DIA обладают свойством сохранения энергии в нелинейных взаимодействиях; при применении к ансамблям в состоянии абсолютного равновесия эти уравнения дают равнораспределенные решения (т. е. дисперсия скорости не зависит от волнового числа) наряду с флуктуационно-диссипативным соотношением (т. е. функция отклика равна дисперсии как функции от времени). Как отмечал Кречнан, это дает статистическую основу для переноса энергии от сильно возбужденных мод к слабо возбужденным модам. В реальных случаях, когда жидкость обладает конечной вязкостью, это означает перенос энергии от малых волновых чисел к большим.
Однако в случае больших чисел Рейнольдса модель DIA в инерционной области давала спектр, пропорциональныый k–3/2, а не экспериментально подтвержденный k–5/3 спектр Колмогорова. Этот результат стимулировал поиски теории, способной предсказывать колмогоровский спектр, который бы сохранял лучшие черты модели DIA. Кроме того, этот результат стимулировал также интерес к исследованию воздействия больших вихрей на декоррелирующий процесс (sweeping), обусловленный мелкими вихрями (см. обсуждение далее).
Как было отмечено ранее, формулировка проблемы с помощью характеристических функционалов (или через распределение вероятности) математически эквивалентна формулировке проблемы с помощью моментов. Однако в первом случае линейность исходных уравнений дает некоторые преимущества, которые были использованы Эдвардсом в смелой попытке применить теорию броуновского движения.
Следуя работе Эдвардса (1964), определим турбулентный ансамбль заданием взбалтывающей силы. Примем, что взбалтывающая сила является случайной с мультидисперсионным нормальным распределением, автокорреляция которой дается выражением (138), чтобы быть уверенным в полной некоррелированности силы по времени. Усредненная функция распределения вероятностей флуктуирующей скорости (P) получается с помощью усреднения по ансамблю, определяющему распределение вероятностей взбалтывающей силы, что позволяет получить уравнение для P. Это уравнение является обобщением уравнения Лиувилля, при использовании которого возникают нетривиальные проблемы из-за того, что взбалтывающая сила явно входит в это уравнение. Эта проблема аналогична вычислению перекрестной корреляции скорости и силы, которую мы рассматривали ранее. Более общая трактовка этой точки зрения [Эдвардс, 1964; Новиков 1965] приводит к следующему уравнению для P:
(202)
Это уравнение должно быть решено приближенно, для чего мы сначала запишем его в упрощенной форме:
, (203)
где определение вида операторов и V производится сравнением с предыдущим выражением. При этом мы проведем лямбда-разложение, представив функцию распределения P в виде
(204)
, (205)
где вид должен быть определен.
Определим теперь , причем сделаем это так, чтобы P0 @ P. Мы проведем это в два этапа. Сначала добавим и вычтем из правой части уравнения (203). Затем припишем порядок l выражению VP, так как этот член имеет существенно тот же смысл, что и нелинейность в уравнениях Навье–Стокса. Для корректного определения мы предположим также, что имеет порядок l2. Затем, помня о том, что параметр l в окончательном результате полагается равным единице, получим уравнение
, (206)
которое является основой для пертурбативного разложения.
На этой стадии Эдвардс предположил, что спектр силы W(k) и скорость затухания мод из-за вязкости могут быть заменены на
(207)
где s(k), r(k) выражают влияние нелинейности. С физической точки зрения это правдоподобный шаг, так как можно утверждать, что для любой моды нелинейное взаимодействие возникает за счет того, что привносится модами с меньшими и передается модам с большим . Фактически уравнение (207) представляет одновременную ренормализацию взбалтывающей силы и вязкости. Перенормировка оператора достигается при этом за счет добавления членов, содержащих :
(208)
с вычитанием соответствующих членов, позволяющих получить корректирующий оператор .
С оператором нулевого порядка, заданного соотношением (208), уравнение (205) для распределения основного порядка, как легко показать, имеет решение
, (209)
где N – это приближенная нормализация, s(k), r(k) удовлетворяют соотношению
, (210)
а второй момент скорости дается выражением
(211)
Коэффициенты в разложении P должны быть найдены из сравнения членов одинакового порядка по l. Обращение оператора нулевого порядка осуществляется с помощью разложения по его собственным функциям. Если P1, P2, … найдены, то следствием уравнения (211) является результат
, (212)
в котором члены нечетного порядка не вносят вклада из-за симметрии.
Вычисление этого условия до второго порядка приводит к уравнению энергии
(213)
и отклика
. (214)
Эти уравнения являются уравнениями второго порядка по взаимодействию, аналогично соответствующему результату для модели DIA, соотношения (200) и (201). Но в противоположность DIA они не зависят от времени. Кречнаном показано, что две теории можно связать, предполагая, что в модели DIA временная зависимость может быть аппроксимирована экспонентой со скоростью затухания мод w(k), с последующим интегрированием по промежуточным временам. Этим способом он нашел, что уравнение энергетического баланса сводится к уравнению Эдвардса, а уравнения для отклика принимает вид
. (215)
Следует отметить, что уравнение отклика в модели DIA имеет только два характерных времени, появляющиеся в знаменателе, в то время как EFP уравнение имеет три.
Эдвардс (1965) показал также, что из рассмотрения консервативных свойств уравнения EFP в пределе бесконечного числа Рейнольдса следует ряд интересных результатов.
При стремлении к этому пределу мы предположим, что вязкость стремится к нулю таким образом, чтобы скорость диссипации оставалась постоянной. Из определения колмогоровского диссипативного волнового числа в соответствии с (147) следует, что диссипация сдвигается в область бесконечных волновых чисел и в этом пределе стремится к дельта-функции на бесконечности.
В общем случае спектр накачки W(k), который является произвольным, должен быть выбран в виде функции, сконцентрированной вблизи начала координат в k-пространстве так, чтобы универсальное поведение могло развиться при больших волновых числах. Однако если мы уменьшаем вязкость, то становится легче возбуждать моды при малых волновых числах, и в пределе оказывается, что мы можем возбуждать систему при k = 0, т. е. накачка энергии может быть задана тоже в виде дельта-функции, но на этот раз в начале координат.
При осуществлении этих условий, когда энергия подводится в точке k = 0 с помощью внешней взбалтывающей силы и откачивается в точке k = ¥ за счет диссипации, колмогоровский спектр можно ожидать во всей области волновых чисел, так что степенной закон для спекральной плотности, определеннный в безразмерных переменных, дается выражением (152). Аналогичным образом анализ размерностей дает нам скорость затухания мод в виде
, (216)
где b – некоторая постоянная, подлежащая определению. На основе этого Эдвардс показал, что уравнения (213) и (214) сводятся к
(217)
(218)
В принципе эти два уравнения должны были бы определять и константы a и b, но появляется затруднение в уравнении для отклика, которое оказывается неинтегрируемым из-за расходимости при j = 0. Это знаменитая инфракрасная расходимость теории турбулентности.
Хорошо известный метод самосогласованного поля был применен к проблеме турбулентности Герингом (1965, 1966). Метод был похож во многом на метод Эдвардса и приводил (в своей не зависящей от времени форме) к EFP уравнению энергии (213) и, что любопытно, к независящему от времени DIA уравнению (215) для отклика, а не EFP форме (214). В своей последней, зависящей от времени, формулировке метод самосогласованного поля Геринга дает DIA уравнения.
Недостаток места не позволяет рассмотреть эту элегантную теорию достаточно подробно, она рассмотрена в работе [МакКомб, 1990]. Более поздние попытки теорий самосогласованного поля в турбулентности в зависимости от основных предположений приводили либо к уравнениям Геринга [Балеску и Сенаторски, 1970], либо к DIA уравнениям [Питиан, 1969]. Одно из очевидных приложений всего этого состоит в том, что перенормировочные теории первого рода являются некоторой формой теорий самосогласованного (или среднего) поля. Так как они не совместимы с колмогоровским спектром, то отсюда следует, что колмогоровское распределение вряд ли является следствием теории самосогласованого поля вопреки стремлению некоторых комментаторов проводить слишком далеко аналогию с фазовыми переходами второго рода и утверждать, что это так и есть [Сиггиа, 1977].
Из подобия соотношений (214) и (215) легко видеть, что неудача DIA (по крайней мере, в ее независящей от времени форме) с колмогоровским распределением, также, как и EFP, может быть объяснена инфракрасной расходимостью. Однако в общем случае неудача DIA может быть связана с ее внутренней неспособностью различать эффекты однородной конвекции и процессы генерации внутренних напряжений, сопровождающиеся переносом энергии. В результате теория не может разделить эффекты энергосодержащих (малых) волновых чисел от динамики в инерционной области [Кречнан, 1964b]. Помимо этого интересно отметить, что этот анализ связан с гипотезой «случайного свиппинга», которая утверждает, что затухание эйлеровской двухточечной корреляции на малых масштабах определяется крупномасштабным свиппингом с временем декорреляции (kU)–1, где U – некоторая характерная скорость в области энергосодержащих волновых чисел. Использование численных методов для исследования случайного свиппинга стало в настоящее время весьма популярным, и мы сошлемся здесь на ряд ведущих работ в этом направлении [Чен и Кречнан, 1989; Нелкин и Табор, 1990; Санда и Шанмугусандаран, 1992; Гото и др.), замечая, что, по крайней мере, в области от малых до умеренных чисел Рейнольдса результаты подтверждают эту гипотезу.
Упомянутый выше анализ Кречнана (1964), направлен на общую формулировку принципа стохастической галилеевой инвариантности, которой должна удовлетворять теория. Конечно, тривиальным является утверждение о том, что уравнения Навье–Стокса и теории, основанные на них, удовлетворяют обычной форме инвариантности Галилея [МаКомб, 1990]. Но совсем не очевидно, что теории удовлетворяют более общему стохастическому условию, и, кроме того, не ясно, что это условие можно соответствующим образом сформулировать.
Тем не менее Кречнан получил, что не только DIA, но также все эйлеровские двухвременные корреляционные теории должны с неизбежностью нарушать это условие и, следовательно, быть неспособными подтверждать колмогоровскую картину динамики в инерционной области. Как мы увидим далее, это чрезмерно пессимистическая точка зрения. Рассмотрим только начальные стадии альтернатив Кречнана, состоящие во введении новой координатной системы, которая имеет некоторое отношение к лагранжевым координатным системам, описанным выше. Результирующие уравнения необычайно сложны, более того, не зависимо от того, что они с очевидностью дают колмогоровский спектр, они требуют некоторого упрощения, поэтому существует несколько различных форм этих уравнений. Полное рассмотрение проведено в работе [МакКомб, 1990], здесь же дано краткое введение.
При исследовании трудностей DIA Кречнан (1964) заметил, что использование обрезания по волновым числам устраняет ложные конвективные эффекты и что это эквивалентно представлению уравнений Навье–Стокса в квази-лагранжевой системе координат. Он переформулировал DIA уравнения в названные им координаты «лагранжевых траекторий» [Кречнан, 1965]. Главным шагом в этой процедуре является введение обобщенной скорости u(x, t|s), которая определена как скорость жидкой частицы, которая была в точке x в момент времени t, измеренная в момент времени s. Два различных времени известны как
t = время маркировки,
s = время измерения.
Ясно, что обобщенная скорость должна удовлетворять двум предельным условиям:
(219)
и для фиксированных значений (x0, t0)
, (220)
где V – поле лагранжевой скорости, определенной выше. Фактически зависимость от t является эйлеровской характеристикой, в то время как s – лагранжевой.
Когда t = s, обобщенная скорость является чисто эйлеровской и удовлетворяет уравнениям Навье–Стокса. В противном случае можно показать, что обобщенная скорость удовлетворяет уравнению
(221)
Поэтому при t = s обобщенная скорость удовлетворяет условию несжимаемости, чего нет в случае нарушения этого условия. Кречнан использовал это обстоятельство для разделения обобщенной скорости на соленоидальную и незавихренную части, к которой DIA не может быть применена. Дальнейшие пояснения могут быть найдены в работах Кречнана (1965, 1977) и Кречнана и Геринга (1978). Как мы уже отмечали ранее, результирующие усложнения являются крайне значительными, и существует несколько направлений, по которым можно честно следовать исходной постановке задачи. К тому же недавно Базденков и Кухарин (1993) указали, что результат зависит от того, что принято за исходное поле: поле скорости, поле напряжений или поле завихренности. Несомненно, надо отметить, что, пользуясь этой теорией, Кречнан (1966) опубликовал теоретическое значение спектральной константы Колмогорова a = 1,77, которое находится в пределах области экспериментальных значений.
Наконец, ради полноты отметим неэйлеровское перенормированное разложение Хорнера и Липовски (1979), в котором был использован формализм Мартина, Сиггиа и Роуза для построения галилеево-инвариантного разложения, а также метод Канеды (1981), в котором предложен вариант кречнановской формулировки на основе лагранжевых траекторий с использованием производных по измеримому времени, а не по маркировочному. Эти теории также приводят к хорошему предсказанию константы Колмогорова с a = 1,72 [Канеда, 1986].
Были сделаны две попытки решения EFP теории. Эдвардс и МакКомб (1969) получили уравнения для отклика, максимизируя турбулентную энтропию. Вторая попытка была основана на гипотезе локальности переноса энергии [МакКомб, 1974; 1976] и приводила к LET теории, которая будет рассмотрена в следующем пункте. Здесь мы будем следовать Эдвардсу и МакКомбу (1969), которые показали, что энтропия, интерпретируемая как отрицательная информация, пригодна для описания некоторых систем, которые не находятся в состоянии термодинамического равновесия. Так если общий вид [Шеннон и Вивер, 1949] задать выражением
, (222)
где k – постоянная, а интегрирование проводится по всем переменным системы, то для P, являющимся решением уравнения (202) в виде l-разложения (204), получим энтропию турбулентности в виде
(223)
где нечетные по маркировочному параметру члены исчезают при интегрировании благодаря симметрии, член второго порядка P2 не вносит вклада из-за наложенного на него условия (212). Следует отметить, что мы положили константу k = 1, так как она не существенна для вычислений.
Коэффициент P0 задан соотношением (209). Для определения P1 сошлемся на результаты Эдвардса (1964), Эдвардса и МакКомба (1969) или МакКомба (1990). Этот член является членом первого порядка по нелинейности и суть функционал от q(k) и w(k).
Результирующее выражение для члена второго порядка для турбулентной энтропии имеет вид
(224)
где маркирующий параметр положен равным единице, а выражение L(k, j, l) связано с выражением (169) соотношением
. (225)
Заметим, что первый член в правой части (224) есть число степеней свободы системы и, поскольку оно постоянно, не вносит вклада при дифференцировании.
Теперь, исходя из EFP теории, мы видим, что уравнение энергии дает одно соотношение для двух неизвестных q(k) и w(k), а варьирование энтропии S(q(k), w(k)) по w(k) даст нам второе. Но для того чтобы сделать это, мы должны принять во внимание, что существующее соотношение между q(k) и w(k) действует как ограничение на вариацию. В соответствии с этим мы и должны записать вариационный принцип, который дает нам второе соотношение в виде
, (226)
в котором коэффициент перед вторым членом в правой части уравнения может быть получен из (210) в виде
. (227)
Поскольку второй член в правой части уравнения потребовал бы огромных усилий для своего вычисления, Эдвардс и МакКомб просто опустили его. Найдя вариацию S в соответствии с (227), они получили новое уравнение для отклика. Для некоторого частного w(A) оно имеет вид
(228)
Хотя мы не приводим его полную форму, ясно, что оно значительно сложнее, чем первоначальное уравнение (214) для отклика в EFP теории. Тем не менее некоторые из этих дополнительных усложнений необходимы, так как взаимное уничтожение различных членов с разными знаками приводит к устранению расходимости, как и в случае уравнения сохранения энергии.
Переходя в этом уравнении к пределу бесконечного числа Рейнольдса и решая его одновременно с (217), получим константу Колмогорова k = 3,8, которая приблизительно в два раза больше приемлемого экспериментального значения. Однако из-за отбрасывания членов определенного вида невозможно говорить о точности этого метода, за исключением того, что он устраняет инфракрасную расходимость.
Стоит отметить, что простая идея максимума энтропии для турбулентной системы вызывает скептицизм (например, [Монин и Яглом, 1975], [Киан, 1983], [Базденков и Кухаркин, 1993]), а типичная оценка этого метода заключается в утверждении, что принцип максимума энтропии применим только к состоянию термодинамического равновесия изолированной системы. По-видимому, эта точка зрения базируется на непонимании. Критика была бы без сомнения правильной, если бы турбулентная система задавалась на микроскопическом уровне, так как в этих условиях происходила бы генерация энтропии. (В этом смысле представляется напрасным то, что Эдвардс и МакКомб не называли константу k константой Больцмана). Однако выражение (223) применимо только к макроскопической конфигурации и является конфигурационной или информационной энтропией и не имеет ничего общего с термодинамикой. Вариация вычисляется в духе принципа, который утверждает, что из всех распределений, удовлетворяющих соответствующим ограничениям, надо выбрать одно с наибольшей энтропией в качестве наилучшей оценки или наиболее вероятного состояния. Хорошая общая дискуссия по этому вопросу может быть найдена в работе [Шор, Джонсон, 1980].
Другая модифицированная теория EFP была предложена Кианом (1983), которая очень близка к оригинальной работе Эдвардса, но где был применен иной критерий для оценки точности метода. В только что описанном методе максимума энтропии мы в некотором смысле минимизируем разность P – P0, и минимизация отрицательной энтропии есть тот самый метод, призванный сделать это. Киан выбирает метод минимизации , где – лиувиллиан системы, а – оператор Фоккера–Планка. Приведем здесь только краткое описание метода, к сожалению Киан использует ad hoc модификацию упрощенных обозначений Геринга, что вызывает некоторые трудности при сравнении его результатов с результатами других авторов.
Основной постулат состоит в том, что нелинейность уравнений Навье–Стокса может быть смоделирована заменой
(229)
где все символы имеют свое изначальное значение. Киан применил метод среднеквадратичной подгонки в качестве критерия выбора величины затухания мод w(k). Для величины I среднеквадратичной невязки он написал
(230)
и потребовал выполнения условия
, (231)
которое дает уравнение для отклика. Это приводит к теории, совместимой с колмогоровской моделью и, очевидно, находится в хорошем согласии с экспериментом, так как способна учесть мелкомасштабную перемежаемость и предсказать фактор выполаживания производной по скорости: см. [Киан, 1990].
Однако эта теория была подвергнута критике МакКомбом (1990), в которой было указано, что вариация по w(k) не свободна, и что ситуация в точности такая же, что и с методом максимальной энтропии. Ясно, что должно быть I = [w(k), q(k)], в соответствии с этим МакКомб предположил, что дифференцирование фактически должно иметь тот же вид, что и (227). Базденков и Кухаркин (1993) сослались на эту критику и указали, что Киан выбросил взбалтывающую силу при переходе от (230) к (231), что нарушило связь q(k) с w(k), и, следовательно, возражение МакКомба было отброшено. Однако эти авторы отметили, что цена, заплаченная за это, есть некоторая степень произвольности в теории Киана. Поскольку эта теория оказывается приемлемой в практическом смысле, она была бы полезна, если бы эти фундаментальные уравнения можно было бы упростить.
Как упоминалось ранее, теория LET начала свою жизнь как ad hoc модификация EPT теории, основанной на идее, что отклик турбулентной системы может быть определен локально по волновым числам с помощью рассмотрения баланса энергии. Позже эта идея была распространена на зависящий от времени случай [МакКомб, 1978] и совсем недавно была переформулирована [МакКомб, Филипяк, Шанмугасундарам, 1992]. LET уравнения были также получены независимо в работах Накано (1988) и Пандья (1995). В последней ссылке содержится модельное представление LET теории, которое гарантирует ее осуществимость.
Основная гипотеза LET теории – это гипотеза о том, что поле скорости связано само с собой в последовательные моменты времени точным пропагатором. Исходное предположение [МакКомб, 1978] было сделано на языке поля скорости (в пространстве волновых чисел), и в случае функции отклика в DIA теории использовался средний по ансамблю пропагатор. В своей обычной форме точный пропагатор H вводился с помощью соотношения
. (232)
Затем в теории перенормированных возмущений второго порядка по маркировочному параметру получаются уравнения для отклика и энергии:
(233)
и
(234)
Сравним теперь LET уравнения с DIA уравнениями. Очевидно, что уравнения энергии (234) и (201) идентичны. Однако если мы сравним уравнение (200) для функции отклика в DIA теории с уравнением (233) для функции отклика в LET теории, пропагатор H, то мы увидим, что левые части уравнений идентичны, а в правой части (233) содержится достаточно сложный нелинейный член. Очень просто показать, что этот член устраняет инфракрасную расходимость в уравнении для функции отклика при k ® j. Мы вернемся к численным предсказаниям позже, но уже здесь полезно отметить, что LET теория предсказывает колмогоровский спектр с константой k = 2,5, которая дает завышенное значение, но не является несовместимой с экспериментом и с результатами численных расчетов.
Закончим этот пункт замечанием о том, что уравнение (232), которое теперь можно рассматривать как основу гипотезы LET теории, идентичной флуктуационно-диссипативному соотношению в форме, не ограниченной применением только к микроскопическим системам [Кубо, 1966]. Следует также отметить, что связь между флуктуационно-диссипативной теоремой и теорией турбулентности не нова. Геринг (1966) заметил, что соотношение между SCF и DIA осуществляется в этой форме. Недавно Канеда (1981) обнаружил, что вариант кречнановской теории лагранжевых траекторий имеет форму флуктуационно-диссипативного соотношения. К тому же упомянутые работы Накано (1988) и Пандья (1995) позволяют получить некоторую форму флуктуационно-диссипативного соотношения, дают альтернативные пути вывода LET теории.
В этом пункте мы коротко обсудим некоторый класс турбулентных моделей, которые вызвали большой интерес в последние годы, особенно в смысле практического приложения. Но надо пояснить, что термин «модель» мы используем для обозначения теории, основанной на некотором специфическом предположении, приводящем к наличию свободного параметра, который обычно используется для того, чтобы сделать предсказания модели согласующимися с экспериментом.
Основная идея состоит в рассмотрении случайного блуждания, где каждый шаг зависит от предыдущего, но не от предпредыдущего шага. Конечно, турбулентность есть в лучшем случае процесс коррелированного случайного блуждания и поэтому не в точности марковский. Тем не менее защитники такого подхода утверждают, что турбулентность может быть отнесена при некоторых условиях к почти марковскому процессу, особенно, когда турбулентный масштаб времени сравним с вязким временем.
Этот тип теорий обычно связывается с работой Орзага (1970), который обсуждал применимость гипотезы квазинормальности и указал, что интеграл памяти в этой теории (см. правую часть уравнения (170)) ограничен масштабом времени, определенным по кинематической вязкости жидкости. Однако влияние турбулентности должно разрушать корреляции, поэтому интеграл памяти должен быть обрезан на временах, определяемых турбулентной декорреляцией. В соответствии с этим Орзаг предложил, что вязкое время жизни (т. е. 1/(nk2)) должно быть заменено на 1/w(k), т. е. уравнение (170) следует заменить на
(235)
где скорость затухания мод остается заданной.
Если мы вернемся к нашей дискуссии о пределе бесконечных чисел Рейнольдса, то увидим, что соображения размерности будут определять скорость затухания мод в соответствии с соотношением (217). Поэтому если мы зададим эту форму для скорости затухания мод, то придем к тому, что уравнение (235) сведется к уравнению (218), и в результате эта квазинормальность, обусловленная марковским характером процесса, будет совместима с колмогоровской картиной.
Много вариантов моделей такого типа возникает в соответствии с тем, как решается проблема выбора скорости затухания мод. Подчеркнем, что на этом пути фиксации квазинормальности ренормализация стоит не на первом месте. В RPT теории гауссовское среднее может быть получено совершенно строго на уровне примитивных рядов теории возмущений, с последующей заменой парной корреляции нулевого порядка на точную и заменой пропагаторов нулевого порядка на точный. Этот последний шаг является перенормировкой как таковой, и можно определить рассмотренную выше марковизацию как некоторый вид post hoc ренормализации. Подробное описание рассмотренного подхода можно найти в книге Лезьера (1987).