Квантовая жидкость

КВАНТОВАЯ ЖИДКОСТЬ - жидкость, на свойства к-рой существ. влияние оказывают квантовые эффекты в поведении составляющих её частиц. Квантовые эффекты становятся существенными при очень низких темп-pax, когда волна де Бройля частиц, отвечающая их тепловому движению, становится сравнимой с расстоянием между ними и происходит квантовое вырождение жидкости. С понижением темп-ры роль квантовых эффектов увеличивается, и при достаточно низкой темп-ре любая жидкость должна была бы стать квантовой. Однако подавляющее большинство обычных жидкостей затвердевает раньше, чем квантовые эффекты начинают проявляться сколько-нибудь заметно. Поэтому фактически в прямом лаб. эксперименте приходится иметь дело с двумя К. ж.изотопами гелия: жидким ⁴Не и жидким ³Не (а также с их смесями) при темп-pax ~ 1-2 К. К. ж., по-видимому, образуют нейтроны в нейтронных звёздах. В определ. смысле К. ж. составляют электроны в металлах и полупроводниках и экситоны в экситонных каплях в диэлектриках, а также протоны и нейтроны в атомных ядрах. К. ж. классифицируют по статистике составляющих их частиц. Жидкость, состоящая из частиц с целым спином, бозонов (жидкий ⁴Не), наз. бозе-жидкостью, а из частиц с полуцелым спином, фермионов (жидкий ³Не),ферми-жидкостью.

Элементарные возбуждения. Квантовые эффекты особенно ярко проявляются при низких темп-pax, когда жидкость находится в слабовозбуждённых состояниях, близких к основному квантовому состоянию. Выявление свойств таких состояний - осн. задача теории К. ж. Важнейшее положение этой теории состоит в том, что переход пространственно-однородной К. ж. из осн. состояния в слабовозбуждённое можно описать как появление в ней газа квазичастиц, или элементарных возбуждений, каждое из к-рых обладает определёнными импульсом и энергией. Энергия квазичастицы e определяется её импульсом р. Зависимость e(р)закон дисперсии квазичастиц - является важнейшей характеристикой К. ж. Всякое слабовозбуждённое состояние жидкости характеризуется распределением квазичастиц по импульсам. Кроме импульса состояние квазичастицы в изотропной К. ж. характеризуется спиральностью - проекцией угл. момента на направление импульса. Квазичастицы, отличающиеся знаком спиральности, в жидкости, инвариантной относительно пространственной инверсии, имеют одну и ту же энергию, т. е. состояния квазичастиц с отличной от нуля спиральностью двукратно вырождены. Как и обычные частицы, квазичастицы подчиняются определ. статистикеБозе - Эйнштейна статистике или Ферми - Дирака статистике. Квазичастицы с целой (включая нуль) спиральностью являются бозонами, с полуцелой - фермионами. При этом поскольку проекция угл. момента жидкости может меняться лишь на целое число (в единицах h), фермиевские квазичастицы могут появляться и исчезать лишь парами квазичастица-дырка (аналогичными в известном смысле электрон-позитронным парам), а бозевские - поодиночке. В бозе-жидкости все квазичастицы являются бозонами, тогда как среди частиц ферми-жидкости могут быть как фермиевские, так и бозевские ветви. В состоянии термодинамич. равновесия квазичастицы фермиевского и бозевского типов распределены по импульсам согласно ф-циям распределения идеальных (соответственно) фермии бозе-газов. Описание возбуждённых состояний жидкости на языке квазичастиц является приближённым. Это проявляется в конечности времени жизни квазичастиц, обусловленной их взаимодействием. При отличных от абс. нуля темп-pax затухание квазичастиц связано с процессами их взаимного рассеяния и распада. При темп-ре абс. нуля рассеяние отсутствует и затухание квазичастицы связано только с процессами распада; если в том или ином интервале импульсов они запрещены законами сохранения, квазичастица является строго незатухающей.

Ферми-жидкость. Нормальная (несверхтекучая) фермиевская жидкость имеет спектр квазичастиц, аналогичный спектру идеального ферми-газа. Его естественно описывать, считая, что при темп-ре абс. нуля квазичастицы заполняют в импульсном пространстве все квантовые состояния вплоть до нек-рого фермиевского импульса p_F. Рождение пары квазичастица (с импульсом р) - дырка (с импульсом р') описывается в этой картине как переход квазичастицы с импульсом -р', первоначально находившейся внутри фермиевской сферы, в состояние с импульсом р вне этой сферы. Т. о., квазичастицы могут иметь импульсы p>p_F, a дырки p_F. Важнейшее положение теории ферми-жидкости, созданной Л. Д. Ландау в 1956, состоит в том, что определяющий распределение квазичастиц фермиевский импульс р_F связан с плотностью числа реальных частиц (атомов жидкости) N/V тем же соотношением, что и в идеальном ферми-газе:

 p_F = h(3p²)^1/3(N/V)^1/3 (1)

(N - число частиц, V - объём системы). В этом смысле число квазичастиц в ферми-жидкости равно числу реальных частиц жидкости. Энергия E ферми-жидкости является функционалом от функции распределения квазичастиц п(р); её изменение при изменении п(р)определяет энергию квазичастицы e(р): 

(здесь и далее предполагается, что распределение квазичастиц не зависит от их спиновых состояний, и опускаются спиновые индексы у всех величин). Важное отличие ферми-жидкости от идеального ферми-газа состоит в том, что энергия квазичастицы e(p) зависит от распределения всех остальных квазичастиц. Изменение e(р) при малом изменении п(р)имеет вид 

Ф-ция f(p, р')описывает взаимодействие между квазичастицами. Фермиевский импульс р_F связан с химическим потенциалом m жидкости равенством:

e(p_F) = e_F=m (4)

(e_F - ферми-энергия). В окрестности фермиевского импульса

e(р) ~ m + v_F(p-р_F), (5)

где v_F - скорость квазичастиц на фермиевской сфере. Отношение m*=p_F/v_F наз. эффективной массой квазичастицы. Ввиду равенства числа частиц числу квазичастиц плотность импульса последних, делённая на массу частицы т, должна быть равна потоку их числа, что приводит к соотношению 

варьирование к-рого по п даёт связь эфф. массы с ф-цией взаимодействия f: 

Здесь ф-ция f(p, р')берётся при |p|=|p'|=p_F, и поэтому она зависит лишь от угла q между р и р', do'=2p sin qdq - элемент телесного угла в направлении р'. Аналогично можно получить связь ф-ции f с сжимаемостью жидкости: 

(r=mN/V - плотность жидкости, Р - давление). Энтропия жидкости выражается через ф-цию распределения квазичастиц той же ф-лой, что и для идеального ферми-газа: 

Распределение же квазичастиц по импульсам в состоянии термодинамич. равновесия даётся обычной ф-лой распределения Ферми - Дирака (используется система единиц, в к-рой темп-pa Т выражается в энергетич. единицах, т. е. в к-рой k=1): 

Это приводит к линейному по темп-ре закону теплоёмкости ферми-жидкосги: 

Время жизни квазичастиц в ферми-жидкости определяется процессами их рассеяния. При абс. нуле темп-р они сводятся к рождению пар частица-дырка, причём вероятность такого рассеяния (с учётом принципа Паули) для квазичастицы с импульсом р пропорц. (р-р_F)². Поэтому реальный физ. смысл имеют лишь квазичастицы вблизи поверхности Ферми, где эта вероятность мала. Аналогично ср. длина пробега квазичастиц при конечных темп-pax l ~ Т^-2, так что фермиевская жидкость при низких темп-pax в кинетич. отношении ведёт себя как разреж. газ и должна описываться кинетическим уравнением. Теплопроводность ( и вязкость h ферми-жидкости с понижением темп-ры изменяются след. образом:

(~T^-1, h~T^-2. (10)

Соответственно с понижением темп-ры возрастает затухание звука, так что при Т=0 распространение обычного звука невозможно. Возможно, однако, распространение колебаний особого рода - нулевого звука, в к-ром происходит сложная деформация ф-ции распределения квазичастиц. Закон дисперсии этих колебаний, как и у обычного звука, линейный: w=u₀k (где w - частота колебаний, k - волновое число), но скорость их распространения и₀ не выражается непосредственно через сжимаемость (8), а требует для своего определения решения кинетич. ур-ния. Затухание нулевого звука пропорц. большей из величин (hw)² и Т² и при низких темп-pax мало. Нулевой звук представляет собой бозевскую ветвь спектра возбуждений ферми-жидкости. От распределения по импульсам квазичастиц, даваемого ф-лой (9), следует отличать распределение по импульсам реальных частиц. Последнее размыто даже при Т=0, однако, как и распределение квазичастиц, имеет резкий скачок при p=p_F Для описания магн. свойств ферми-жидкости необходимо рассматривать ф-ции распределения частиц, зависящие от проекции их спинов на направление магн. поля. При этом ф-ция взаимодействия f является матрицей по спиновым индексам взаимодействующих частиц, к-рую в пренебрежении слабыми релятивистскими (спин-орбитальным и спин-спиновым) взаимодействиями можно записать в виде

f = Ij(р, p') + ss'G(p, р'), (11)

где I - единичная матрица, s и s' - Паули матрицы ,действующие на спиновые индексы частиц с импульсами р и р', j и G - скалярные ф-ции. Магн. восприимчивость c ферми-жидкости при низких темп-pax стремится к пост. пределу: 

где b₀ - магн. момент изолированной частицы. С микроскопич. точки зрения ф-ция взаимодействия f представляет собой амплитуду рассеяния квазичастиц "вперёд", когда передача энергии hw и передача импульса hk стремятся к нулю. Предельное значение амплитуды зависит от порядка перехода к указанному пределу, и ф-ция f выражается через амплитуду, когда w, k и k/w стремятся к нулю. Последоват. микроскопич. вычисление параметров ферми-жидкости возможно лишь в случае разреж. системы, т. е. ферми-газа ,когда ср. расстояние между частицами велико по сравнению с длиной рассеяния а частиц друг на друге:

(N/V)^-1/3>>a. (13)

В этом случае все характеристики системы можно определить, используя теорию возмущений. В частности, для эфф. массы имеем: 

Бозе-жидкость. В области самых малых импульсов квазичастицы в бозе-жидкости являются фононами - квантами звука с законом дисперсии

e(р) = ир, (14)

где и - скорость звука, связанная со сжимаемостью жидкости при Т=0 обычной ф-лой:

u² = дP/дr (15)

Соответственно теплоёмкость жидкости при самых низких темп-pax имеет вид 

Ход кривой спектра e(р) при не малых значениях импульса определяется конкретными свойствами взаимодействия атомов. В реальном ⁴Не эта кривая, измеренная экспериментально с помощью неупругого рассеяния медленных нейтронов, имеет форму, показанную на рисунке. Фактически вклад в термодинамич. ф-ции жидкости, кроме начальной - фононной - части, вносят квазичастицы вблизи минимума кривой - ротоны, где кривая может быть представлена в виде 

с эксперим. значениями параметров: D=8,7 К, р₀/h=1,9.10⁸ см^-1, m* = 1,1.10^-24 г. При нормальном давлении д²e/др²|_р''0>0. Это приводит к тому, что фононы нач. части кривой могут распадаться на фононы с меньшими импульсами, что даёт при малых р затухание ~ р⁵. Большая же часть кривой при T=0 является незатухающей. При р~1,5р₀ кривая e(р) достигает значения 2D. В этой точке появляется возможность распада квазичастицы на два ротона с энергиями D каждый. При этом значении импульса кривая e(р) обрывается. Важнейшим свойством бозевской жидкости при низких темп-pax является её сверхтекучесть - способность двигаться относительно сосуда без диссипации энергии. Как показал Л. Д. Ландау (1941), это свойство тесно связано с видом спектра квазичастиц. Диссипация энергии при абс. нуле темп-ры означает рождение квазичастиц при движении. Однако для спектра, показанного на рис., такой процесс невозможен при достаточно малой скорости движения в силу законов сохранения энергии и импульса. Действительно, пусть жидкость движется относительно сосуда со скоростью V. Тогда если энергия квазичастицы в неподвижной жидкости есть e(р), то в системе координат, связанной с сосудом, её энергия равна e(p)+pV, согласно закону преобразования энергии в нерелятивистской механике. Рождение квазичастиц, связанное с диссипацией энергии, возможно, если последнее выражение отрицательно при каких-то значениях р, т. е. если скорость движения больше критич. скорости V_c (критерий Ландау):

V>V_c = min[e(p)/p]. (17)

Если правая часть выражения (17) отлична от нуля, как это имеет место для реального спектра гелия, показанного на рис., диссипация отсутствует при всех скоростях, меньших V_c. При Т=0 вся жидкость движется как сверхтекучая. При конечных темп-pax совокупность квазичастиц движется как обычная жидкость - это "нормальная часть", с к-рой связана нек-рая плотность нормальной части жидкости r_n. Остальная часть плотности r_s=r-r_n движется как сверхтекучая жидкость. По мере увеличения темп-ры р„ увеличивается, и при нек-рой темп-ре T=T_l(Р), зависящей от давления, r_s обращается в нуль и жидкость теряет свойство сверхтекучести. Линия T=T_l(Р) является линией фазовых переходов второго рода. Для ⁴Не при давлении насыщенных паров T_l=2,18 К. Вблизи темп-ры перехода r_s обращается в нуль по закону: r_s~ (T_l - T)^(2-a)/3, где a~ - 0,01 - критич. показатель теплоёмкости.

Своеобразными особенностями обладает распределение по импульсам истинных частиц - атомов жидкости. При Т < T_l в жидкости происходит Бозе - Эйнштейна конденсация, так что в наинизшем квантовом состоянии с р=0 находится конечная доля всех атомов. Волновая ф-ция y₀ этих "сконденсированных" атомов является дополнит. классич. переменной, описывающей сверхтекучую жидкость. Она записывается в виде 

где n₀ - плотность числа частиц в конденсате, j - фаза. y можно рассматривать как комплексный параметр порядка, наличие к-рого отличает сверхтекучую фазу от нормальной. Плотность числа частиц п₀ не связана непосредственно с r_s, однако она обращается в нуль одновременно с r_s в точке перехода, хотя и по несколько иному закону: n₀ ~ (T_l - T)^2b, где b - критич. показатель параметра порядка. Фаза же волновой ф-ции конденсата определяет скорость сверхтекучей части бозе-жидкости (сверхтекучую скорость): 

(m - масса атома). При низких темп-pax п₀ уменьшается с повышением темп-ры по закону: 

Распределение по импульсам частиц, не находящихся в конденсате, имеет особенность в области малых импульсов: 

Особый характер имеет вращение сверхтекучей части бозе-жидкости. Оно происходит вокруг отд. вихревых нитей, циркуляция скорости вокруг к-рых, в силу (19), квантована и равна целому кратному от 2ph/m. Микроскопич. вычисление параметров бозе-жидкости возможно также лишь в пределе разреж. системы, удовлетворяющей условию (13), т. е. бозе-газа. Для такого газа спектр квазичастиц для любых значений р определяется ф-лой Боголюбова (Н. Н. Боголюбов, 1947): 

При малых р спектр (20) имеет вид (14), причём скорость звука и равна и=(4ph²па/m²)^1/2. При р '' : (20) переходит в спектр свободных атомов р²/2m. Плотность числа атомов в конденсате при Т=0 в этой модели равна 

Для реальной жидкости можно получить приближённую интерполяц. ф-лу Фейнмана, связывающую спектр возбуждений со статпч. формфактором жидкости S(k), к-рый можно определить по рассеянию рентгеновских лучей жидкостью: 

Согласно этой ф-ле, ротонному минимуму соответствует максимум S (k), связанный с ближним порядком в расположении атомов жидкости. 

Сверхтекучая ферми-жидкость. При достаточно низких темп-pax состояние нормальной ферми-жидкости оказывается неустойчивым, если взаимодействие между квазичастицами имеет характер притяжения. Более точно, неустойчивость возникает, если амплитуда рассеяния квазичастиц с противоположными импульсами имеет соответствующий притяжению отрицат. знак хотя бы при одном значении относит. угл. момента I квазичастиц. Тогда с понижением темп-ры при нек-рой критич. темп-ре Т_с происходит "спаривание" - образование молекулоподобных куперовских пар квазичастиц с противоположными импульсами. Эти пары являются бозонами и в нек-рых отношениях ведут себя как бозевский конденсат. Темп-pa перехода Т_с экспоненциально зависит от амплитуды для соответствующего l. Ниже Т_с ферми-жидкость становится сверхтекучей. Конкретные свойства сверхтекучей фазы зависят от значения момента, при к-ром происходит спаривание. Если спаривание происходит в состоянии с l=0, то жидкость остаётся изотропной. Волновая ф-ция электронных пар является в этом случае скаляром вида (18). Спектр квазичастиц ниже точки перехода меняется и приобретает вид

e(р)==[D² + v²_F(p-p_F)²]^1/2 (21)

Из (21) видно, что в спектре имеется "щель": мин. энергия, необходимая для рождения квазичастицы, равна D (а пары частица-дырка 2D). Щель D зависит от темп-ры и обращается в нуль при Т=Т_c. При Т=0 D=1,75T_c Благодаря наличию щели в спектре теплоёмкость, соответствующая фермиевской ветви возбуждений (21), при низких темп-pax экспоненциально мала. Система, однако, имеет и бозевскую ветвь возбуждений - обычный звук с законом дисперсии (14) - (15), так что теплоёмкость при низких темп-pax определяется законом (16). Спектр (21) удовлетворяет условию сверхтекучести с конечным значением V_с. Само это условие не является необходимым для сверхтекучести ферми-жидкости, поскольку неогранич. рождение фермиевских квазичастиц запрещено принципом Паули. Однако его выполнение обеспечивает равенство r_n=0 при T = 0. Аналогичными свойствами, осложнёнными наличием электрич. заряда и анизотропией, обладают электроны в сверхпроводящей фазе металлов (см. Сверхпроводимость). Реальный ³Не переходит в сверхтекучее состояние с темп-рой перехода при нулевом давлении T_c~10^-4 К. Спаривание происходит в состояние с l=1 и спином 1. Параметр порядка - волновая ф-ция пар - может быть в этом случае представлен в виде тензора второго ранга y_ik, первый индекс к-рого относится к орбитальным, а второй - к спиновым переменным. Сверхтекучий ³Не является, т. о., жидким кристаллом. Существуют две фазы сверхтекучего ³Не - Аи B-фазы, отличающиеся видом тензора y_ik. Низкотемпературная B-фаза более изотропна, её анизотропия связана лишь с относительно слабым взаимодействием спинов ядер атомов ³Не с их орбитальным движением. В пренебрежении этим взаимодействием тензор y_ik можно привести к виду y_ik= y₀d_ik где y₀ - нек-рый скалар (d_ik - символ Кронекера). Спектр квазичастиц имеет вид (21) с не зависящей от углов щелью D. A-фаза существенно анизотропна. Тензор y_ik для неё можно привести к виду

где D_i', D_i'', t_k - компоненты единичных вещественных векторов D', D'', t. Векторы D' и D'' ортогональны и их векторное произведение l определяет направление орбитальных моментов всех куперовских пар. Вектор t определяет направление, на к-рое проекция спинов пар равна нулю. Спектр возбуждений А-фазы имеет вид (21), однако щель зависит от угла q между направлением импульса р и вектором l:D² ~ sin² q. Лит.: Абрикосов А. А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. Е., Методы квантовой теории поля в статистической физике, М., 1962; Пайнс Д., Нозьер Ф., Теория квантовых жидкостей, пер. с англ., М., 1967; Сверхтекучесть гелия-3. Сб. ст., пер. с англ., М., 1977; Л и ф ш и ц Е. М., Питаевский Л. П., Статистическая физика, ч. 2 - Теория конденсированного состояния, М., 1978; Квантовые жидкости и кристаллы, Сб. ст., пер. с англ., М., 1979. Л. П. Питаевский.

Источник: www.femto.com.ua/articles/part_1/1554.html